שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

תגית: עריכת קוד מקור 2017
את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי <math>q</math> מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה <math>\{q\}_{n=1}^\infty</math>.
 
את פעולות ה[[חיבור]], הוה[[חיסור]], ה[[כפל]] וה[[חילוק]] נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
{{ש}}
<math>[\{x_n\}_{n=1}^\infty]+[\{y_n\}_{n=1}^\infty]:=[\{x_n+y_n\}_{n=1}^\infty]</math>
{{ש}}
<math>[\{x_n\}_{n=1}^\infty-]\cdot[\{y_n\}_{n=1}^\infty]:=[\{x_n-\cdot y_n\}_{n=1}^\infty]</math>
{{ש}}
נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים:
<math>\{x_n\}_{n=1}^\infty\cdot\{y_n\}_{n=1}^\infty:=\{x_n\cdot y_n\}_{n=1}^\infty</math>
יהו <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1},\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{w_n\}^\infty_{n=1}</math>. יש להוכיח כי <math>\{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n+w_n\}^\infty_{n=1}</math>, ו- <math>\{x_n\cdot y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\cdot w_n\}^\infty_{n=1}</math>.
{{ש}}
* חיבור: יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
<math>(\{x_n\}_{n=1}^\infty)^{-1} :=\{x_n^{-1}\}_{n=1}^\infty</math> (אם הסדרה אינה שקולה לאפס אז יש בה רק מספר סופי של אפסים שאפשר להחליף אותם במספר כלשהו, וסדרת ההפכיים היא אכן סדרת קושי)
<math>|x_n+y_n-z_n-w_n|\le|x_n-z_n|+|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>
{{ש}}
בנוסף,* אתכפל: הסדרהסדרות על סדרות קושי ב-<math>\mathbb{Qx_n\}^\infty_{n=1},\{z_n\}^\infty_{n=1}</math> נגדירחסומות, כך:לכן יהי <math>A=\max\{x_n\sup\{y_n\}_^\infty_{n=10}^,\infty < sup\{y_nz_n\}_^\infty_{n=1}^\infty}</math>. אם ורק אם קיים r>0 וקייםקיימים <math>NN_1,N_2</math> טבעי כך שלכל <math>n>NN_1</math> טבעי מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon{2A}</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-rw_n|<\frac\varepsilon{2A}</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
<math>|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\le|y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}+A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}=\varepsilon</math>
פעולות החיסור והחילוק יוגדרו כחיבור בנגדי וכפל בהופכי.
 
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-<math>\mathbb{Q}</math> נגדיר כך: <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty \leq \{y_n\}_{n=1}^\infty</math> אם ורק אם הן סדרות שקולות, או שקיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>x_n \leq y_n</math>
{{ש}}
(בכל ההגדרות סימוני הסדרות מתייחסים כמובן לסדרות מייצגות של מחלקות השקילות, וניתן להראות כי אין ההגדרה תלויה בסדרה המייצגת)
891

עריכות