שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

(מיזוג גרסאות)
יהו <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1},\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{w_n\}^\infty_{n=1}</math>. יש להוכיח כי <math>\{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n+w_n\}^\infty_{n=1}</math>, ו- <math>\{x_n\cdot y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\cdot w_n\}^\infty_{n=1}</math>.
* חיבור: יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
:<math>|x_n+y_n-z_n-w_n|\le|x_n-z_n|+|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>
* כפל: הסדרות <math>\{x_n\}^\infty_{n=1},\{z_n\}^\infty_{n=1}</math> חסומות, לכן יהי <math>A=\max\{\sup\{y_n\}^\infty_{n=0},\sup\{z_n\}^\infty_{n=1}\}</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon{2A}</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon{2A}</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
:<math>|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\le|y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}+A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}=\varepsilon</math>
 
פעולות החיסור והחילוק יוגדרו כחיבור בנגדי וכפל בהופכי.
 
882

עריכות