שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-<math>r</math>. קל להראות באינדוקציה כי לכל <math>n</math> טבעי <math>u_n</math> חסם מלעיל ל-<math>S</math> בעוד ש-<math>l_n</math> לא, מעובדה זו נובע כי <math>r</math> חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר.
נניח כי <math>t</math> מקיים <math>t < r</math>, אז קיים <math>n_0</math> טבעי עבורו <math>t < l_{n_0}</math>, ומכיוון ש-<math>\{l_n\}_{n=1}^\infty</math> מונוטונית עולה נקבל כי לכל <math>n\geq n_0</math> גם מתקיים <math>t < l_n</math>, אך ראינו כבר ש-<math>l_n</math> אינו חסם מלעיל ולכן <math>t</math> שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.
===בנייה באמצעות חתכי דדקינד===
{{בעבודה}}
[[חתכי דדקינד|חתך דדקינד]] של מספרים רציונליים הוא קבוצה <math>A</math> המקיימת:
* <math>A\not=\empty</math>
* <math>A\not=\mathbb{Q}</math>
* לכל <math>x\in A</math> וגם <math>y<x</math>, מתקיים <math>y\in A</math>
* ל<math>A</math> אין מקסימום: לא קיים <math>x\in A</math> כך שלכל <math>y\in A</math> מתקיים <math>y\le x</math>.
כל חתך ייצג מספר ממשי.
 
לכל מספר רציונלי <math>q</math>, החתך <math>\{x:x<q\}</math> הוא החתך המייצג את <math>q</math>.
 
עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור <math>\sqrt2</math> יתאים החתך <math>\{x:x<0\lor x^2<2\}</math>, ועבור <math>e=2.71...</math> ([[E (קבוע מתמטי)|מספר אוילר]]) יתאים החתך <math>\left\{x:\exist n\in\mathbb{N},x<\left(1+\frac1n\right)^n\right\}</math>.
 
נגדיר את פעולות החיבור והכפל:
* <math>A+B=\{a+b:a\in A\land b\in B\}</math>
*
 
==קישורים חיצוניים==
884

עריכות