שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

* חיבור: יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:

:<math>|x_n+y_n-z_n-w_n|\le|x_n-z_n|+|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>

:<math>|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\le|y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}+A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}=\varepsilon</math>

 

קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-<math>r</math>. קל להראות באינדוקציה כי לכל <math>n</math> טבעי <math>u_n</math> חסם מלעיל ל-<math>S</math> בעוד ש-<math>l_n</math> לא, מעובדה זו נובע כי <math>r</math> חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר.

נניח כי <math>t</math> מקיים <math>t < r</math>, אז קיים <math>n_0</math> טבעי עבורו <math>t < l_{n_0}</math>, ומכיוון ש-<math>\{l_n\}_{n=1}^\infty</math> מונוטונית עולה נקבל כי לכל <math>n\geq n_0</math> גם מתקיים <math>t < l_n</math>, אך ראינו כבר ש-<math>l_n</math> אינו חסם מלעיל ולכן <math>t</math> שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

===בנייה באמצעות חתכי דדקינד===

{{להשלים}}