שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

מ
{{ש}}
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה [[יחס שקילות]]:
* [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]: לכל סדרה <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}</math>, לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכל <math>n</math>, מתקיים <math>|x_n-x_n|=0<\varepsilon</math>.
* [[יחס סימטרי|סימטריות]]: <math>|x_n-y_n|=|y_n-x_n|</math> ולכן אם האחד גדול מ-<math>\varepsilon</math> גם השני גדול ממנו.
* [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]]:יהו יהי <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{y_n\}^\infty_{n=1}</math>, ו- <math>\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1}</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-y_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>|x_n-y_n|=|x_n-y_n+y_n-z_n|\le|x_n-y_n|+|y_n-z_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> (על פי [[אי -שוויון המשולש]]), לכן <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1}</math>.
[[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> - זהו שדה המספרים הממשיים.
 
ניתן להראות כי ההגדרות הנ"ל אכן הופכות את הקבוצה ל[[שדה סדור שלם]].
{{ש}}
האקסיומה היחידה שאינה נובעת באופן מיידי היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים [[אינפימום וסופרמום|סופרמום]] (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
{{ש}}
תהי <math>S</math> תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי <math>u</math>. נגדיר <math>u_1</math> כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-<math>u</math> (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-<math>S</math> אינה ריקה, קיים מספר רציונלי <math>l_1</math> שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי <math>S</math>. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם <math>a_n=\frac{u_n+l_n}{2}</math> חסם מלעיל אז <math>u_{n+1}=a_n</math> ו-<math>l_{n+1}=l_n</math>, אם הוא אינו חסם מלעיל אז <math>l_{n+1}=a_n</math> ו-<math>u_{n+1}=u_n</math>.