שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

* חיבור: יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
:<math>|x_n+y_n-z_n-w_n|\le|x_n-z_n|+|y_n-w_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>
* כפל: כל סדרת קושי היא חסומה{{הערה|קיים <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math>, מתקיים <math>|a_n-a_m|<1</math> כאשר <math>m>nN</math> קבוע, כלומר <math>a_m-1<a_n<a_m+1</math> לכן הסדרה חסומה החל מ<math>N</math>. הוספת מספר סופי של איברים לסדרה לא יהפכו אותה ללא חסומה, לכן היא חסומה לגמרי}}, לכן יהי <math>A</math> המקסימום בין החסמים של <math>\{y_n\}^\infty_{n=1},\{z_n\}^\infty_{n=1}</math>, כלומר לכל <math>n</math> מתקיים <math>|y_n|<A</math> וכן <math>|z_n|<A</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon{2A}</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon{2A}</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
:<math>|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\le|y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}+A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}=\varepsilon</math>
 
פעולות החיסור והחילוק יוגדרו כחיבור בנגדי וכפל בהופכי.
 
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-<math>\mathbb{Q}</math> נגדיר כך: <math>[\{x_n\}_{n=1}^\infty] < [\{y_n\}_{n=1}^\infty]</math> אם ורק אם קיים r>0 וקיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>x_n < y_n-r</math>.
 
נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:
ניתן להראות כי ההגדרות הנ"ל אכן הופכות את הקבוצה ל[[שדה סדור שלם]].
 
נניח ש<math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1},\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{w_n\}^\infty_{n=1}</math> וכן שקיימים <math>r>0(r\in\mathbb{Q}),N\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r</math>. במקרה זה קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac{r}{2}</math> (או בנוסח אחר: <math>x_n-\frac{r}{2}<z_n<x_n+\frac{r}{2}</math>), ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac{r}{4}</math> (או בנוסח אחר: <math>w_n-\frac{r}{4}<y_n<w_n+\frac{r}{4}</math>). נבחר <math>N'=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N'</math>: <math>z_n<x_n+\frac{r}{2}<y_n-r+\frac{r}{2}=y_n-\frac{r}{2}<w_n-\frac{r}{2}+\frac{r}{4}=w_n-\frac{r}{4}</math>.
 
נראה כי זהו אכן [[יחס סדר]] חזק:
* [[אנטי-רפלקסיביות]]: לכל <math>r>0</math> ולכל <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}</math>, מתקיים <math>x_n-r<x_n</math> ולכן לא מתקיים <math>x_n<x_n-r</math>, כלומר <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\not<[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>.
* [[א-סימטריה]]: נניח שקיים <math>r>0(r\in\mathbb{Q}),N\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r</math>. אז לא קיים <math>r'>0</math> וגם <math>N'</math> כך שלכל <math>n>N'</math> מתקיים <math>y_n<x_n-r'</math>, כי אז לכל <math>n>\max\{N,N'\}</math> היה מתקיים <math>x_n<y_n-r<y_n<x_n-r'<x_n</math> בסתירה לאנטי-רפלקסיביות של יחס הסדר על הרציונלים.
* [[טרנזיטיביות]]: יהו <math>r_1,r_2>0</math>, וכן <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r_1</math>, ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>y_n<z_n-r_2</math>. אז נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\},r=r_1+r_2</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>x_n<y_n-r_1<z_n-r_1-r_2=z_n-(r_1+r_2)=z_n-r</math>.
{{ש}}
ניתן להראותלראות כי ההגדרות הנ"ל אכן הופכות את הקבוצההשדה ל[[שדה סדור שלם]].
 
האקסיומה היחידה שאינה נובעת באופן מיידי היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים [[אינפימום וסופרמום|סופרמום]] (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
{{ש}}
891

עריכות