דיפרנציאל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
מ הרחבה, ניסוח, עיצוב
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 8:
מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: <math>f(p+\Delta p) = f(p)+D_p(\Delta p)+o(\Delta p)</math> כאשר <math>\ o</math> מסמל פונקציה המקיימת <math>\lim_{\Delta p \to 0} \frac{\lVert o(\Delta p) \rVert}{\lVert \Delta p \rVert}=0</math>, ו־<math>D_p</math> מסמל טרנספורמציה ליניארית מ־<math>\mathbb{R}^n</math> אל <math>\mathbb{R}^m</math>. הטרנספורמציה <math>D_p</math> תיקרא '''הדיפרנציאל''' של הפונקציה <math>f</math> בנקודה <math>p</math>, ולפעמים תסומן גם בסימונים: <math>\mathrm{d}f_p (\Delta p)</math>, <math>\mathrm{D}f(p) (\Delta p)</math>, <math>\mathrm{D}f|_p (\Delta p)</math> וכיו"ב.
 
נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה <math>p</math> – בכל נקודה יש לפונקציה <math>f</math> קירוב ליניארי שתלוי באותה נקודה, יתכן שהעתקת הדיפרנציאל היא שונה, וניתן להוכיח שהדיפרנציאל בנקודה מסוימת הוא יחיד, כלומר לא קיימות 2שתי העתקות ליניאריות שמקיימות את ההגדרה הכתובה לעיל באותה נקודה.
 
==מציאת הדיפרנציאל==
נראה כי אם נסתכל על וקטור היחידה <math>\vecmathbf{e_ie}_i</math> (וקטור אפסים עם <math>1</math> במקום ה-<math>i</math>. לדוגמה ב- <math>\mathbb{R}^4</math> מתקיים ש- <math>\vecmathbf{e_2e}_2 = (0,1,0,0)</math>) ו-<math>f: \colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math> דיפרנציאבילית בנקודה <math>p</math> אז <math>\forall 1\leq i\leq n :df_p\mathrm{d} f_p(e_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)</math>. מהמשפט הזה אפשר להסיק שבאופן כללי לכל וקטור <math>\Delta p =(\Delta p_1,...,\Delta p_n)=\sum_{i=1}^n \Delta p_i \vecmathrm{e_ie}_i</math>, הדיפרנציאל בנקודה <math>p</math>, שהוא אופרטור ליניארילינארי, יהיה
 
<math>df_p\mathrm{d}f_p(\Delta p)
=df_p \mathrm{d}f_p \left(\sum_{i=1}^n \Delta p_i \vec{e_i}\right)
=\sum_{i=1}^n\Delta p_i\cdot df_p\mathrm{d}f_p(\vecmathrm{e_ie}_i) = \sum_{i=1}^n \Delta p_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)</math>.
 
 
 
מכאן ניתן להוכיח כי הדיפרנציאל מיוצג ב[[בסיס סטנדרטי|בסיס הסטנדרטי]] על ידי [[מטריצה]] ששורותיה הן [[גרדיאנט|הגרדיאנטים]] של הפונקציות הסקלריות המרכיבות את <math>\ f</math>. מטריצה זו נקראת [[מטריצת יעקובי]].
 
מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה.
 
==דוגמה==
במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, <math>\ y=f(x)</math>, אם הפונקציה גזירה בנקודה <math>\ x_0</math> פירוש הדבר הוא שקיים ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] הבא:

<math>\ \lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</math>.

אם נסמן גבול זה בתור <math>\ f'(x_0)</math>, נשים לב שמתקיים <math>\ f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)</math>. (ניתן לראות זאת על ידי חלוקה ב-<math>\ \Delta x</math> והשאפתו לאפס), ולהפך: כאם קיים קבוע <math>A</math> כך ש-<math>f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+A\Delta x+o(\Delta x)</math> אז <math>f</math> גזירה ב-<math>x_0</math> ו-<math>A = f'(x_0)</math>.
 
מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה <math>D_{x_0}=f'(x_0)\cdot (x-x_0)</math>. כאן הדיפרנציאל הוא "טרנספורמציה ליניארית"לינארית שמיוצגת על ידי מטריצה של איבר בודד.
 
מקובל לעיתים קרובות במקרה של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד <math>\ f</math>, מקובל לרוב לסמן את הדיפרנציאלהסדיפרנציאל שלה בתור <math>\ dfmathrm{d}f</math>. מכאן גם ניתן להבין את פשר הסימון <math>\ \frac{df\mathrm{d}f}{dx\mathrm{d}x}</math> שמתאר נגזרת (כלומר, את <math>\ dfmathrm{d}f</math>) - אם נסתכל על <math>\ x</math>, המשתנה, כפונקציה של עצמו, הרי שהדיפרנציאל שלו בנקודה <math>\ x_0</math> הוא <math>D_{x_0}=1(x-x_0)=(x-x_0)</math>. זהו סימון בלבד - דיפרנציאלים הם העתקות ליניאריות, ואין למנה שלהם משמעות מתמטית.
 
==ראו גם==