דיפרנציאל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) מ הרחבה, ניסוח, עיצוב |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 8:
מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: <math>f(p+\Delta p) = f(p)+D_p(\Delta p)+o(\Delta p)</math> כאשר <math>\ o</math> מסמל פונקציה המקיימת <math>\lim_{\Delta p \to 0} \frac{\lVert o(\Delta p) \rVert}{\lVert \Delta p \rVert}=0</math>, ו־<math>D_p</math> מסמל טרנספורמציה ליניארית מ־<math>\mathbb{R}^n</math> אל <math>\mathbb{R}^m</math>. הטרנספורמציה <math>D_p</math> תיקרא '''הדיפרנציאל''' של הפונקציה <math>f</math> בנקודה <math>p</math>, ולפעמים תסומן גם בסימונים: <math>\mathrm{d}f_p (\Delta p)</math>, <math>\mathrm{D}f(p) (\Delta p)</math>, <math>\mathrm{D}f|_p (\Delta p)</math> וכיו"ב.
נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה <math>p</math> – בכל נקודה יש לפונקציה <math>f</math> קירוב ליניארי שתלוי באותה נקודה, יתכן שהעתקת הדיפרנציאל היא שונה, וניתן להוכיח שהדיפרנציאל בנקודה מסוימת הוא יחיד, כלומר לא קיימות
==מציאת הדיפרנציאל==
נראה כי אם נסתכל על וקטור היחידה <math>\
<math>
= =\sum_{i=1}^n\Delta p_i\cdot מכאן ניתן להוכיח כי הדיפרנציאל מיוצג ב[[בסיס סטנדרטי|בסיס הסטנדרטי]] על ידי [[מטריצה]] ששורותיה הן [[גרדיאנט|הגרדיאנטים]] של הפונקציות הסקלריות המרכיבות את <math>
מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה.
==דוגמה==
במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, <math>
<math> אם נסמן גבול זה בתור <math> מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה <math>D_{x_0}=f'(x_0)\cdot (x-x_0)</math>. כאן הדיפרנציאל הוא
==ראו גם==
|