דיפרנציאל (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

תהא <math>f \colon \mathbb{R}^n\rarr\mathbb{R}^m</math> [[פונקציה דיפרנציאבילית]] בנקודה <math>\mathbf{p}</math>.

מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: <math>f(\mathbf{p}+\Delta \mathbf{p}) = f(\mathbf{p})+D_pD_\mathbf{p}(\Delta \mathbf{p})+o(\Delta \mathbf{p})</math> כאשר <math>\ o</math> מסמל פונקציה המקיימת <math>\lim_{\Delta \mathbf{p} \to 0} \frac{\lVert o(\Delta \mathbf{p}) \rVert}{\lVert \Delta \mathbf{p} \rVert}=0</math>, ו־<math>D_pD_\mathbf{p}</math> מסמל טרנספורמציה ליניארית מ־<math>\mathbb{R}^n</math> אל <math>\mathbb{R}^m</math>. הטרנספורמציה <math>D_pD_\mathbf{p}</math> תיקרא '''הדיפרנציאל''' של הפונקציה <math>f</math> בנקודה <math>\mathbf{p}</math>, ולפעמים תסומן גם בסימונים: <math>\mathrm{d}f_pf_\mathbf{p} (\Delta \mathbf{p})</math>, <math>\mathrm{D}f(\mathbf{p}) (\Delta \mathbf{p})</math>, <math>\mathrm{D}f|_p_\mathbf{p} (\Delta \mathbf{p})</math> וכיו"ב.

נראה כי אם נסתכל על וקטור היחידה <math>\mathbf{e}_i</math> (וקטור אפסים עם <math>1</math> במקום ה-<math>i</math>. לדוגמה ב- <math>\mathbb{R}^4</math> מתקיים ש- <math>\mathbf{e}_2 = (0,1,0,0)</math>) ו-<math>f \colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m</math> דיפרנציאבילית בנקודה <math>p</math> אז <math>\forall 1\leq i\leq n :\mathrm{d} f_pf_\mathbf{p}(e_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{p})</math>. מהמשפט הזה אפשר להסיק שבאופן כללי לכל וקטור <math>\Delta \mathbf{p} =(\Delta p_1,...,\Delta p_n)=\sum_{i=1}^n \Delta p_i \mathrm{e}_i</math>, הדיפרנציאל בנקודה <math>\mathbf{p}</math>, שהוא אופרטור לינארי, יהיה

<math>\mathrm{d}f_p(\Delta \mathbf{p})

= \mathrm{d}f_pf_\mathbf{p} \left(\sum_{i=1}^n \Delta p_i \vec{e_i}\right)

=\sum_{i=1}^n\Delta p_i\cdot \mathrm{d}f_pf_\mathbf{p}(\mathrm{e}_i) = \sum_{i=1}^n \Delta p_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)</math>.