שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה [[יחס שקילות]]:
* [[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]: לכל סדרה <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}</math>, לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכל <math>n</math>, מתקיים <math>|x_n-x_n|=0<\varepsilon</math>.
* [[יחס סימטרי|סימטריות]]: <math>|x_n-y_n|=|y_n-x_n|</math> ולכן אם האחד גדולקטן מ-<math>\varepsilon</math> גם השני גדול ממנו.
* [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]]: יהי <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{y_n\}^\infty_{n=1}</math>, ו- <math>\{y_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1}</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-y_n|<\frac\varepsilon2</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-z_n|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>|x_n-y_n|=|x_n-y_n+y_n-z_n|\le|x_n-y_n|+|y_n-z_n|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> (על פי [[אי-שוויון המשולש]]), לכן <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim\{z_n\}^\infty_{n=1}</math>.
[[קבוצת המנה]] (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן <math>\mathbb{R}</math> - זהו שדה המספרים הממשיים.
* כפל: כל סדרת קושי היא חסומה{{הערה|קיים <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math>, מתקיים <math>|a_n-a_m|<1</math> כאשר <math>m>N</math> קבוע, כלומר <math>a_m-1<a_n<a_m+1</math> לכן הסדרה חסומה החל מ<math>N</math>. הוספת מספר סופי של איברים לסדרה לא יהפכו אותה ללא חסומה, לכן היא חסומה לגמרי}}, לכן יהי <math>A</math> המקסימום בין החסמים של <math>\{y_n\}^\infty_{n=1},\{z_n\}^\infty_{n=1}</math>, כלומר לכל <math>n</math> מתקיים <math>|y_n|<A</math> וכן <math>|z_n|<A</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>|x_n-z_n|<\frac\varepsilon{2A}</math> ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>|y_n-w_n|<\frac\varepsilon{2A}</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>:
:<math>|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\le|y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}+A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}=\varepsilon</math>
נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה <math>\R</math> היא [[שדה (מתמטיקה)|שדה]]:
 
* סגירות:
פעולות החיסור והחילוק יוגדרו כחיבור בנגדי וכפל בהופכי.
:* חיבור: יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n_1,n_2>N_1</math> מתקיים <math>|x_{n_1}-x_{n_2}|<\frac\varepsilon2</math>, ולכל <math>n_1,n_2>N_2</math> מתקיים <math>|y_{n_1}-y_{n_2}|<\frac\varepsilon2</math>. נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n_1,n_2>N</math>: <math>|(x_{n_1}+y_{n_1})-(x_{n_2}+y_{n_2})|\le|x_{n_1}-x_{n_2}|+|y_{n_1}-y_{n_2}|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>
 
:* כפל: יהי <math>\varepsilon>0</math>. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן ב<math>A</math> את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n_1,n_2>N_1</math> מתקיים <math>|x_{n_1}-x_{n_2}|<\frac\varepsilon{2A}</math> ולכל <math>n_1,n_2>N_2</math> מתקיים <math>|y_{n_1}-y_n_2}|<\frac\varepsilon{2A}</math>. נסמן <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n_1,n_2>N</math>: <math>|x_{n_1}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_2}|=|x_{n_1}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_1}+x_{n_2}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_2}|\le|y_{n_1}||x_{n_1}-x_{n_2}|+|x_{n_2}||y_{n_1}-y_{n_2}|<A\cdot\frac\varepsilon{2A}+A\cdot\frac\varepsilon{2A}=\varepsilon</math>.
* [[אסוציאטיביות]]:
:* חיבור: <math>\begin{align}[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+([\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}])&=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{y_n+z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n+(y_n+z_n)\}^\infty_{n=1}]=[\{(x_n+y_n)+z_n\}^\infty_{n=1}]\\
&=[\{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}]=([\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{y_n\}^\infty_{n=1}])+[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\end{align}</math>
:* כפל: <math>\begin{align}[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot([\{y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}])&=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\cdot z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\cdot(y_n\cdot z_n)\}^\infty_{n=1}]=[\{(x_n\cdot y_n)\cdot z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\cdot y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\\
&=([\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\}^\infty_{n=1}])\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\end{align}</math>
* [[קומוטטיביות]]:
:* חיבור: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{y_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n+x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>
:* כפל: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_ny_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_nx_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>
* [[איבר האפס]]: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+0=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{0\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n+0\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>
* [[איבר היחידה]]: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot1=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{1\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\cdot1\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>
* [[איבר נגדי]]: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{-x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n-x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{0\}^\infty_{n=1}]=0</math>
* [[איבר הופכי]]: נראה קודם כל כי אם ב<math>\{x_n\}^\infty_{n=1}</math> יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל <math>N</math> קיים <math>n>N</math> כך ש<math>x_n=0</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיים <math>N</math> כך שלכל <math>n_1,n_2>N</math> מתקיים <math>|x_{n_1}-x_{n_2}|<\varepsilon</math>. יהי <math>n_0>N</math> כך ש-<math>x_{n_0}=0</math>. לכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-0|=|x_n-x_{n_0}|<\varepsilon</math>, לכן <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}\sim0</math>. כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים. מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי <math>N</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>x_n\not=0</math>. נסמן ב<math>\{x_n'\}^\infty_{n=1}</math> את הסדרה המוגדרת על פי <math>x'_n=\begin{cases}x_n && n>N\\
1 && n\leq N\end{cases}</math>. ברור ש-<math>\{x'_n\}^\infty_{n=1}\sim\{x_n\}^\infty_{n=1}</math>, וכן שכל איברי הסדרה <math>\{x'_n\}^\infty_{n=1}</math> שונים מאפס, לכן יש להם הופכי במסגרת [[שדה המספרים הרציונליים]]. נקבל: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot\left[\left\{\frac{1}{x'_n}\right\}^\infty_{n=1}\right]=[\{x'_n\}^\infty_{n=1}]\cdot\left[\left\{\frac{1}{x'_n}\right\}^\infty_{n=1}\right]=\left[\left\{x'_n\cdot\frac{1}{x'_n}\right\}^\infty_{n=1}\right]=[\{1\}^\infty_{n=1}]=1</math>.
* [[דיסטריבוטיביות]]: <math>\begin{align}[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot([\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}])&=[\{x_n\}^\infty_{n=1}\cdot[\{y_n+z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n(y_n+z_n)\}^\infty_{n=1}]=[\{x_ny_n+x_nz_n\}^\infty_{n=1}]\\
&=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\end{align}</math>
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-<math>\mathbb{Q}</math> נגדיר כך: <math>[\{x_n\}_{n=1}^\infty] < [\{y_n\}_{n=1}^\infty]</math> אם ורק אם קיים r>0 וקיים <math>N</math> טבעי כך שלכל <math>n>N</math> טבעי מתקיים <math>x_n < y_n-r</math>.
 
נראה כי זהו אכן [[יחס סדר]] חזק:
* [[רפלקסיביות|אנטי-רפלקסיביות]]: לכל <math>r>0</math> ולכל <math>\{x_n\}^\infty_{n=1}</math>, מתקיים <math>x_n-r<x_n</math> ולכן לא מתקיים <math>x_n<x_n-r</math>, כלומר <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\not<[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>.
* [[א-סימטריה]]: נניח שקיים <math>r>0(r\in\mathbb{Q}),N\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r</math>. אז לא קיים <math>r'>0</math> וגם <math>N'</math> כך שלכל <math>n>N'</math> מתקיים <math>y_n<x_n-r'</math>, כי אז לכל <math>n>\max\{N,N'\}</math> היה מתקיים <math>x_n<y_n-r<y_n<x_n-r'<x_n</math> בסתירה לאנטי-רפלקסיביות של יחס הסדר על הרציונלים.
* [[טרנזיטיביות]]: יהו <math>r_1,r_2>0</math>, וכן <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n>N_1</math> מתקיים <math>x_n<y_n-r_1</math>, ולכל <math>n>N_2</math> מתקיים <math>y_n<z_n-r_2</math>. אז נבחר <math>N=\max\{N_1,N_2\},r=r_1+r_2</math> ונקבל לכל <math>n>N</math>: <math>x_n<y_n-r_1<z_n-r_1-r_2=z_n-(r_1+r_2)=z_n-r</math>.
* השוואה: נניח שמתקיים <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\not<[\{y_n\}^\infty_{n=1}]\land[\{y_n\}^\infty_{n=1}]\not<[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>. אז לכל <math>r>0</math> ולכל <math>N</math>, קיים <math>n>N</math> כך ש-<math>x_n\geq y_n-r</math> וכן <math>y_n\geq x_n-r</math>. בנוסח אחר נאמר כי <math>|x_n-y_n|\leq r</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math>. קיימים <math>N_1,N_1</math> כך שלכל <math>n_1,n_2>N_1</math> מתקיים <math>|x_{n_1}-x_{n_2}|<\frac\varepsilon3</math>, ולכל <math>n_1,n_2>N_2</math> מתקיים <math>|y_{n_1}-y_{n_2}|<\frac\varepsilon3</math>. נסמן <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math>. קיים <math>n_0>N</math> כך שמתקיים <math>|x_{n_0}-y_{n_0}|\leq\frac\varepsilon3</math>. לכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_{n_0}-y_n|\le|x_{n_0}-y_{n_0}|+|y_{n_0}-y_n|<\frac\varepsilon3+\frac\varepsilon3=\frac{2\varepsilon}3</math>. לכן לכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|x_n-y_n|\le|x_n-x_{n_0}|+|x_{n_0}-y_n|<\frac\varepsilon3+\frac{2\varepsilon}3=\varepsilon</math>, ולכן <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n\}^\infty_{n=1}]</math>.
{{ש}}
נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה ל[[שדה סדור]]:
882

עריכות