כפל – הבדלי גרסאות

====מערכות מספרים אחרות====

* [[חוג המספרים השלמים]]: נשתמש ב[[מספר שלם#בנייה פורמלית|בנייה פורמלית של המספרים השלמים]], כמחלקות שקילות של היחס <math>(a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c</math> על הקבוצה <math>\N\times\N</math>, כאשר הכפל מוגדר <math>[(a,b)]\cdot[(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]</math>, והחיבור מוגדר <math>[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]</math>:

:* [[קומוטטיביות]]: <math>[(a,b)]\cdot[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]=[(ca+db,da+cb)]=[(c,d)]\cdot[(a,b)]</math>

:* איבר יחידה: <math>[(a,b)]\cdot1=[(a,b)]\cdot[(1,0)]=[(a+0\cdot b,a\cdot0+b)]=[(a,b)]</math>

:* כפל ב{{משמאל לימין|-1}}: <math>[(a,b)]\cdot[(0,1)]=[(b,a)]=-[(a,b)]</math>

:* אין הופכי בשלמים.

:* איבר יחידה: <math>[(a,b)]\cdot[(1,1)]=[(a,b)]</math>

:* חוק הצמצום: נשתמש בכך שיש הופכי (יוכח בהמשך) ונקבל: <math>xy=xz\Rightarrow x^{-1}xy=x^{-1}xz\Rightarrow y=z</math>.

:* כפל ב{{משמאל לימין|-1}}: <math>[(a,b)]\cdot[(-1,1)]=[(-a,b)]=-[(a,b)]</math>

:* [[מספר הופכי]]: <math>[(a,b)]\cdot[(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1</math>