שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

:* כפל: יהי <math>\varepsilon>0</math>. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן ב<math>A</math> את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים <math>N_1,N_2</math> כך שלכל <math>n_1,n_2>N_1</math> מתקיים <math>|x_{n_1}-x_{n_2}|<\frac\varepsilon{2A}</math> ולכל <math>n_1,n_2>N_2</math> מתקיים <math>|y_{n_1}-y_{n_2}|<\frac\varepsilon{2A}</math>. נסמן <math>N=\max\{N_1,N_2\}</math> ונקבל לכל <math>n_1,n_2>N</math>: <math>|x_{n_1}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_2}|=|x_{n_1}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_1}+x_{n_2}y_{n_1}-x_{n_2}y_{n_2}|\le|y_{n_1}||x_{n_1}-x_{n_2}|+|x_{n_2}||y_{n_1}-y_{n_2}|<A\cdot\frac\varepsilon{2A}+A\cdot\frac\varepsilon{2A}=\varepsilon</math>.
* [[אסוציאטיביות]]:
:* חיבור: <math>\begin{align}&[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+([\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}])&=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{y_n+z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n+(y_n+z_n)\}^\infty_{n=1}]=[\{(x_n+y_n)+z_n\}^\infty_{n=1}]\\&=[\{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{z_n\}^\infty_{n=1}]=([\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{y_n\}^\infty_{n=1}])+[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\end{align}</math>
:* כפל: <math>\begin{align}&[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot([\{y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}])=[\{x_n+\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\cdot z_n\}^\infty_{n=1}]+=[\{x_n\cdot(y_n\cdot z_n)\}^\infty_{n=1}]=[\{(x_n\cdot y_n)\cdot z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\cdot y_n\}^\infty_{n=1}]+\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\\&=([\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\}^\infty_{n=1}])+\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\end{align}</math>
:* כפל: <math>\begin{align}[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot([\{y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}])&=[\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\cdot z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\cdot(y_n\cdot z_n)\}^\infty_{n=1}]=[\{(x_n\cdot y_n)\cdot z_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n\cdot y_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\\
&=([\{x_n\}^\infty_{n=1}]\cdot[\{y_n\}^\infty_{n=1}])\cdot[\{z_n\}^\infty_{n=1}]\end{align}</math>
* [[קומוטטיביות]]:
:* חיבור: <math>[\{x_n\}^\infty_{n=1}]+[\{y_n\}^\infty_{n=1}]=[\{x_n+y_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n+x_n\}^\infty_{n=1}]=[\{y_n\}^\infty_{n=1}]+[\{x_n\}^\infty_{n=1}]</math>
882

עריכות