חלוקת פולינומים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הפניה |
הסרת רווחים מיותרים, קידוד קישורים, החלפות ( ייתכן, פולינומי, את , פונקציה), הלבשת קישורים עירומים, אחידות במיקום הערות שוליים תגית: הסרת הפניה |
||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''חלוקת פולינומים''' או '''חלוקת פולינומים עם שארית''' או '''חלוקה אוקלידית''', היא [[אלגוריתם]] לחלוקת [[פולינום]] בפולינום אחר שדרגתו{{הערה|דרגת פולינום מוגדרת כחזקה המקסימלית של איבר עם מקדם שאיננו 0. למשל, דרגת הפולינום <math>P(x)=x^3+3x^2-6x-8</math> היא 3.}} קטנה מזו של המחולק או שווה לשלו. למעשה, אלגוריתם זה מהווה הכללה לאלגוריתם [[חילוק ארוך|החילוק הארוך]] ב[[אריתמטיקה]]. בדומה לחילוק האריתמטי, גם חילוק פולינומים מפרק בעיה מתמטית, העשויה להיות מסובכת, לתתי-בעיות פשוטות יותר, ולכן, הוא פשוט ונוח לשימוש באופן יחסי. זאת ועוד, קיימות גם שיטות המקצרות את תהליך חלוקה זה, כדוגמת חלוקה סינתטית{{הערה|{{קישור כללי|כותרת=איך לנחש ולבדוק שורשים אמיתיים - 3 - בדיקות שורשים על ידי חלוקת פולינומים מחלקה סינתטית - Dummies 2021|אתר=No dummy|כתובת=https://iw.no-dummy.com/how-to-guess-and-check-real-roots-3-testing-roots-by-dividing-polynomials-using-synthetic-division|שפה=iw|תאריך_וידוא=2021-03-29}}}}.
האלגוריתם מיישם הלכה למעשה את תכונת הפולינומים הבאה. בהינתן <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> (מחולק) ו-<math>D(x)=b_kx^k+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_1x+b_0</math> (מחלק) כך ש-<math>k\le n</math> ובניסוח מדויק, <math>\deg(D(x))\le\deg(P(x))</math>, ניתן לבטא את <math>P(x)</math> כ-<math>P(x)=D(x)Q(x)+R(x)</math> עבור <math>Q(x)</math> פולינום שיקרא המנה ועבור <math>R(x)</math> פולינום שיקרא שארית החלוקה, כך שדרגת השארית <math>R(x)</math> קטנה (ממש) מדרגת המחלק <math>D(x)</math>, כלומר <math>\deg(R(x))<\deg(D(x))</math>.
התוצאה <math>R=0</math> תופיע [[אם ורק אם]] <math>D(x)</math> הוא גורם של <math>P(x)</math>, כלומר, ניתן לרשום את <math>P(x)</math> כמכפלה של הפולינום <math>D(x)</math> בפולינום אחר. בנוסף, על פי [[המשפט הקטן של בזו]], אם <math>a</math> הוא שורש של <math>P(x)</math>, דהיינו <math>P(a)=0</math>, אזי <math>(x-a)</math> הוא גורם של <math>P(x)</math>. לכן, נעשה שימוש נרחב בחלוקת פולינומים הן על מנת לפרק את הפולינום לגורמים והן על מנת לפשט את הליך מציאת השורשים הנוספים שלו, אם אחד מהם כבר ידוע{{הערה|https://math-wiki.com/images/1/12/חילוק_פולינומים_הסבר.PDF}}.
==דוגמה==
=== חלוקת פולינומים ===
נמצא את מנת החלוקה ואת השארית שלה עבור חלוקת הפולינום <math>P(x)=x^3 - 2x^2 - 4</math> (המחולק) בפולינום <math>D(x)=x-3,</math> (המחלק).
תחילה, נכתוב מחדש את המחולק באופן הבא:
.<math>P(x)=x^3 - 2x^2 + 0x - 4.</math>
כעת, נבצע את התהליך דלהלן:
נחלק את האיבר הראשון של <math>P(x)</math> באיבר הראשון של <math>D(x)</math>, דהיינו, את האיבר בעל החזקה המקסימלית של <math>P(x)</math> באיבר בעל החזקה המקסימלית של <math>D(x)</math>. במקרה זה, מדובר ב-<math>\left( x^3 / x = x^2 \right)</math>. את התוצאה, נכתוב מעל לקו האופקי:
:<math>
\begin{array}{l}
{\color{White} x-3 ) x^3 - 2}x^2\\
x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}
\end{array}
</math>
</li>
<li>
נכפול את כל איברי המחלק בתוצאה שקיבלנו זה עתה, ונקבל <math>xD(x)=x^2-3x</math>. נכתוב את התוצאה תחת האיברים הראשונים של המחולק:
:<math>
\begin{array}{l}
{\color{White} x-3 ) x^3 - 2}x^2\\
x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
{\color{White} x-3 )} x^3 - 3x^2
\end{array}
</math>
</li>
<li>
נחסר את התוצאה שרשמנו מהאיברים שמעליה ומיד לאחר מכן, נעתיק מטה את האיבר הראשון מימין לאיברי המחלק שביצענו עליהן כעת פעולה.
:<math>
\begin{array}{l}
{\color{White} x-3 ) x^3 - 2}x^2\\
x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
{\color{White} x-3 )} \underline{x^3 - 3x^2}\\
{\color{White} x-3 )0x^3} + {\color{White}}x^2 + 0x
\end{array}
</math>
</li>
<li>
נבצע כעת שוב את אותה סדרת פעולות עבור הפולינום החדש שהתקבל מההפרש ומהוספת האיבר הנוסף.
:<math>
\begin{array}{r}
x^2 + {\color{White}1}x {\color{White} {} + 3}\\
x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
\underline{x^3 - 3x^2 {\color{White} {} + 0x - 4}}\\
+x^2 + 0x {\color{White} {} - 4}\\
\underline{+x^2 - 3x {\color{White} {} - 4}}\\
+3x - 4\\
\end{array}
</math>
</li>
<li>
כעת, לא ניתן להעתיק מטה אף איבר. נסיים את התהליך.
:<math>
\begin{array}{r}
x^2 + {\color{White}1}x + 3\\
x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
\underline{x^3 - 3x^2 {\color{White} {} + 0x - 4}}\\
+x^2 + 0x {\color{White} {} - 4}\\
\underline{+x^2 - 3x {\color{White} {} - 4}}\\
+3x - 4\\
\underline{+3x - 9}\\
+5
\end{array}
</math>
</li>
</ol>
הפולינום שהתקבל מעל לקו האופקי הוא המנה <math>Q(x)=x^2 + x + 3</math> והפולינום, במקרה זה ממעלה 0{{הערה|ניתן להתייחס לכל מספר קבוע שאיננו אפס כאל פולינום ממעלה 0.}}, שנותר אחרי הפעולה האחרונה, הוא השארית <math>R(x)=5</math>.
<math>{x^3 - 2x^2 - 4} = (x-3)\,\underbrace{(x^2 + x + 3)}_{Q(x)} +\underbrace{5}_{R(x)}</math>
==שימושים==
===פירוק פולינומים לגורמים===
בהינתן פולינום, לעיתים, שורש אחד או יותר שלו כבר ידועים אך ייתכן כי קיימים לו כאלו נוספים. אם ידוע כי <math>r</math> הוא שורש של פולינום <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> - פולינום ממעלה <math>n</math>, כלומר מתקיים כי <math>P(r)=a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0</math>, ניתן לחלק את <math>P(x)</math> ב-<math>(x-r)</math> ומהמשפט הקטן של בזו נובע כי שארית החלוקה היא 0. לכן, נקבל במקרה זה כי <math>P(x)=(x-r)Q(x)</math> עבור <math>Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_1x+b_0</math>, כלומר דרגת המנה היא <math>n-1</math>. בחלק מהמקרים, הפולינום <math>Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_1x+b_0</math> הוא כזה שקל יותר למצוא את שורשיו. מאחר שכל שורש שלו הוא גם שורש של <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>, הרי שבכך יועל תהליך מציאת השורשים של הפולינום המקורי.
באופן דומה, אם ידועים יותר משורש אחד של הפולינום, לדוגמה, ידוע כי <math>r_1,r_2,...,r_k</math> שורשים שלו, ניתן לחלק את הפולינום ב-<math>(x-r_1)</math> ולקבל <math>P(x)=(x-r_1)Q_1(x)</math>. כעת, ניתן לחלק את <math>Q_1(x)</math> ב-<math>(x-r_2)</math> ולקבל כי <math>Q_1(x)=(x-r_2)Q_2(x)</math> כך שדרגתו של <math>Q_2(x)</math> קטנה מהדרגה של <math>Q_1(x)</math>. לכן, <math>P(x)=(x-r_1)(x-r_2)Q_2(x)</math>. כעת, ניתן להמשיך את התהליך, עד שבסופו של דבר יתקבל כי <math>P(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdot\cdot\cdot(x-r_k)Q_k(x)</math> כך שדרגת <math>P(x)=-Q_k(x)</math> קטנה מ-<math>n-k</math>.
===מציאת ישר משיק לנקודה על גרף של פונקציה פולינומית===
ניתן להשתמש בחלוקת פולינומים גם למציאת משוואת הישר המשיק לנקודה הנמצאת על גרף של פונצקייה פולינומית. בהינתן פונקציה <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> ונקודה <math>x=q</math>, משוואת המשיק לגרף בנקודה <math>x=q</math> תהיה שארית החלוקה של <math>f(x)</math> ב-<math>(x-q)^2</math>.
====דוגמה====
נמצא את משוואת הישר המשיק לפונקציה <math>y =f(x)= x^3 - 12x^2 - 42</math> בנקודה <math>x=1</math>.
:נחלק את הפולינום ב-<math>(x-1)^2 = x^2-2x+1</math>:
:: <math>
\begin{array}{r}
x - 10\\
x^2-2x+1\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
\underline{x^3 - {\color{White}0}2x^2 + {\color{White}1}x} {\color{White} {} - 42}\\
-10x^2 - {\color{White}01}x - 42\\
\underline{-10x^2 + 20x - 10}\\
-21x - 32
\end{array}
</math>
לכן, משוואת המשיק המבוקשת היא <math>y = - 21 x - 32</math>.
===בדיקת יתירות מחזורית===
ב[[בדיקת יתירות מחזורית]] משתמשים בשארית החלוקה של פולינומים עבור ניטור שגיאות בהעברת מסרים.
==ראו גם==
* [[המשפט הקטן של בזו]]
* [[חוג אוקלידי]]
==קישורים חיצוניים==
* {{יוטיוב|8uMsY48l03g|שם=פולינומים, שורשים ופונקציות רציונליות - 8 - חלוקת פולינומים - שיעור בקורס ההכנה במתמטיקה של [[הטכניון]] בנושא חלוקת פולינומים המועבר על ידי ד"ר [[אביב צנזור]]|אורך=20:33}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
| |||