מרחב נורמי – הבדלי גרסאות

הוסרו 1,541 בתים ,  לפני שנה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
תגית: עריכת קוד מקור 2017
'''מרחב נורמי''' הוא [[מרחב וקטורי]] שעליו מוגדרת '''[[נורמה (אנליזה)|נורמה]]'''. הנורמה היא פונקציה המקבלת [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ומחזירה מספר ממשי, והיאומצייתת מהווהלשלוש הכללהאקסיומות: שלהיא מושגחיובית ה[[אורך]]ומתאפסת אורק הגודלבאפס; שלהיא וקטורהומוגנית; והיא מקיימת את [[אי-שוויון המשולש]].
 
מרחב נורמי שהוא [[מרחב שלם]] מכונה "[[מרחב בנך]]". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון צפוף בתוך מרחב בנך מתאים לו, המכונה "[[מרחב השלמה]]".
 
כל [[מרחב מכפלה פנימית]] הוא בפרט גם מרחב נורמי, כאשרעל המכפלהידי פנימיתהנורמה משרה נורמה טבעית באופן הבא:המושרית <math>\ \| \vec{V} \| = \sqrt{ \lang \vec{v} , \vec{v} \rang}</math> . מרחב נורמי כזה נקרא "[[מרחב אוקלידי]]", שכן נורמה המושרית ממכפלה פנימית זו מגדירה את מושג ה[[אורך]] ב[[גאומטריה אוקלידית]].
 
מרחב נורמי הוא בפרט [[מרחב מטרי]], כאשרלפי הנורמה משרה מטריקה טבעית באופן הבא:המטריקה <math>\ d(x,y) = \| x - y \|</math>. בפרטמכיוון גםשכך, מרחב נורמי זהוהוא [[מרחב טופולוגי]] טבעי (ביחסעם ל[[בסיסהטופולוגיה (טופולוגיה)|בסיס]]הנוצרת על ידי הכדורים הפתוחים במטריקה).
 
==שקילות של נורמות==
==מרחבים נורמיים בעלי ממד סופי==
 
ידועשתי כינורמות במרחבעל נורמיאותו <math>V</math>מרחב בעל ממד סופי כל הנורמותהן '''שקולות'''. כלומר לכל זוג נורמות <math>\| \cdot \|_1 , \| \cdot \|_2</math>אם קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים <math>c,C</math>, כך שלכל <math>\vec v \in V</math> מתקיים <math>c \cdot \| \vec v \|_1 \leq \| \vec v \|_2 \leq C \cdot \| \vec v \|_1</math>. במקרה זה הנורמות משרות את אותה טופולוגיה.
 
במרחב נורמי בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות זו לזו.
כדי להראות זאת, מספיק להראות שכל הנורמות שקולות ל[[הנורמה האוקלידית|נורמה האוקלידית]]: <math>\| \vec v \| = \| (v_1,...,v_n) \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n{\left| v_i \right|^2}}</math>.
 
ניתן להראות כי השקילות של נורמה כלשהי <math>\| \cdot \|^*</math> לנורמה האוקלידית <math>\| \cdot \|</math> מתקבלת על ידי <math>c \cdot \| \vec v \| \leq \| \vec v \|^* \leq C \cdot \| \vec v \|</math> כאשר את הקבועים <math>c,C</math> ניתן לבחור באופן הבא:
* קביעת <math>C</math>: קובעים למרחב <math>V</math> בסיס כלשהו <math>\left\{ \rho_1,...,\rho_n \right\} </math>, ומגדירים <math>C \equiv \sqrt{\sum_{i=1}^n{\| \rho_i \|^2}} </math>.
* קביעת <math>c</math>: מגדירים אופרטור <math>f(u) = \left\| \sum_{i=1}^n u_i \cdot \rho_i \right\|</math> על מעגל היחידה (כלומר לכל וקטור <math>u</math> המקיים <math>\| u \| = 1</math>). מקומפקטיות [[מעגל היחידה]] ורציפות האופרטור <math>f</math> נובע שמתקבל מינימום עבור איזשהו <math>u_{\text{min}}</math>, ומגדירים <math>c \equiv f(u_{\text{min}})</math>.
 
==קישורים חיצוניים==