חבורת סימטריות – הבדלי גרסאות

נוספו 1,791 בתים ,  לפני 15 שנים
אין תקציר עריכה
מ (זוטות.)
אין תקציר עריכה
ב[[מתמטיקה]] ויישומיה, '''חבורת סימטריות''' של אובייקט (מוחשי או מופשט) היא האוסף של כל הדרכים לשנות את האובייקט, תוך שמירה על תכונותיו היסודיות. דרכים אלו, העשויות לכלול למשל סיבובים השומרים את האובייקט במקומו, נקראות "פעולות". ה[[הרכבהפעולה שלטיפוסית פונקציות|הרכבה]] שלעשויה פעולותלהחליף, דהיינו, ביצוען בזו אחרללא זועיוות, הופך את האוסףמקומם ל[[חבורההיחסי (מבנהשל חלקי אלגברי)|חבורה]]האובייקט, שתכונותיהכך כרוכותשהוא באלויחזור שללתפוס האובייקטאת שבואותו מדוברמקום במרחב.
 
ה[[הרכבה של פונקציות|הרכבה]] של פעולות, דהיינו, ביצוען בזו אחר זו, הופכת את האוסף ל[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], שתכונותיה כרוכות באלו של האובייקט שבו מדובר, דרך ה[[פעולת חבורה|פעולה]] של החבורה על האובייקט. חבורת הסימטריות של [[מערכת מתמטית]] נקראת [[חבורת אוטומורפיזמים]]. מחוץ לתחומי המתמטיקה, לחבורות של סימטריות יש חשיבות רבה בעיקר בפיזיקה תאורטית, ב[[כימיה]] וב[[קריסטלוגרפיה]].
התכולה המדויקת של חבורת הסימטריות תלויה בשלושה גורמים: התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור, המגבלות הנוספות המוטלות על פעולות אלה, והקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו. בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהאובייקט יחזור בסוף הפעולה למקומו, שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע ב[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] שבו האובייקט מופיע, ופעולות שונות צריכות להבדל זו מזו במיקומן הסופי של הנקודות המרכיבות את האובייקט. בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על-ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו, או שתהיינה ניתנות להרחבה לאוטומורפיזם של המרחב.
 
== תכולתה של חבורת הסימטריות ==
חבורת הסימטריות של [[מערכת מתמטית]] נקראת [[חבורת אוטומורפיזמים]]. מחוץ לתחומי המתמטיקה, לחבורות של סימטריות יש חשיבות רבה בעיקר בפיזיקה תאורטית, ב[[כימיה]] וב[[קריסטלוגרפיה]].
 
בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע ב[[מרחב (מתמטיקה)|מרחב]] שבו האובייקט מופיע. בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על-ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו. דרישה זו הופכת את כל חבורות הסימטריה של אובייקטים במרחב X, לתת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים של X, ולכן יש לחבורות האוטומורפיזמים של מרחבים חשובים (כגון [[המרחב האוקלידי]]) מעמד מרכזי בחקר הסימטריות.
 
כדי לקבוע את הרכבה המדויק של חבורת הסימטריות, יש לקבוע בנוסף לדרישות המרחביות עוד שני תנאים: (1) מהן התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור; (2) מהם הקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו.
 
== דוגמאות ==
== סימטריות של אובייקטים מרחביים ==
 
[[תמונה:Tetrahedral group 2.svg|שמאל|ממוזער|240px|חבורת הסימטריות של ה[[ארבעון]] במרחב התלת-ממדי כוללת 12 פעולות, והיא איזומורפית ל[[חבורת התמורות הזוגיות]] מסדר 4]]
חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת [[מרכז כובד|מרכז הכובד]] שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב. לעומת זאת, חבורת הסימטריות של [[סריג (גאומטריה)|סריג]] אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון [[גביש]]ים) עשויה לכלול גם הזזות. במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.
 
במקרים מסוימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט. לדוגמא, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא [[חבורה ציקלית|החבורה הציקלית האינסופית]]; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות <math>\ \sigma</math>), שיקוף <math>\ \tau</math> סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה. הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \tau</math>. הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau\sigma^{-1}</math>. ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף <math>\ \sigma\tau = \tau\sigma^{-1}</math>. החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).
 
== חבורות הסימטריה של המרחבים האוקלידיים ==
 
חבורת הסימטריות של [[מרחב מטרי]] נקראת '''חבורת האיזומטריות''' של המרחב, והיא כוללת את כל הפונקציות ההפיכות <math>\ f : X\rightarrow X</math>, השומרות על ה[[מטריקה]] d: <math>\ d(f(x),f(y))=d(x,y)</math>. במרחב האוקלידי V (עם המטריקה המושרית על-ידי ה[[נורמה]] הסטנדרטית), חבורת האיזומטריות היא אוסף כל הפעולות <math>\ x\mapsto Ax+v</math> כאשר <math>\ A\in O_n(\mathbb{R})</math> היא [[מטריצה אורתוגונלית]], ו- <math>\ v\in V</math>. החבורה מורכבת משתי תת-חבורות: אוסף ההזזות <math>\ x\mapsto x+v</math>, שהוא [[תת חבורה נורמלית]], איזומורפית למרחב עצמו, וחבורת הסיבובים <math>\ O_n(\mathbb{R}) = \{A: AA^t=I\}</math>, שהיא [[חבורת לי]] [[חבורה קומפקטית|קומפקטית]] מממד <math>\ \binom{n-1}{2}</math>.
 
== ראו גם ==