מתנד הרמוני – הבדלי גרסאות

הוסר בית אחד ,  לפני שנה
←‏מתנד הרמוני פשוט: משפט דה-מואבר מתייחס רק ל-w שלם.
מ (הסרת תבנית:בריטניקה בערכים כאשר היא רק דף הפניה. ראו שיחת תבנית:בריטניקה (תג))
(←‏מתנד הרמוני פשוט: משפט דה-מואבר מתייחס רק ל-w שלם.)
* הגודל <math>\omega_0</math> הוא גודל קבוע, היות שהמסה או קבוע הקפיץ אינם משתנים (הערה: אם המסה משתנה, משוואת הכוחות שכתבנו קודם לכן, אינה מתאימה ויש להיעזר בפיתוח המשוואה למסה משתנה)
 
משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית מסדר שני, שכדי לפתור אותה, נכתוב את הפולינום האופייני של המערכת: <math>\lambda^2+ \omega^{2}_0 =0</math>. משוואת הפולינום האופייני תיפתר על ידי נוסחת השורשים, ושורשיה נתונים על ידי <math>\lambda=\pm \omega_0 i</math> כאשר <math>i</math> הוא היחידה המדומה. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית, יהיה מהצורה <math>x(t)=\alpha e^{\lambda_1 t}+\beta e^{\lambda_2 t}</math>. על ידי הצבת הפתרונות של הפולינום האופייני נקבל <math>x(t)=\alpha e^{\omega_0 i t}+\beta e^{-\omega_0 i t}</math>. וכעת ישנה בעיה חדשה. הפתרון אינו פונקציה ממשית במלואה. כלומר, חלק מהפתרון מרוכב. העתק המסה הוא גודל ממשי לחלוטין, ולכן עלינו לקחת רק את החלק הממשי של הפתרון. לשם כך, נעזר במשפטב[נוסחת דה-מואבראוילר] כדי לפשט את הפתרון:<math>x(t)=\alpha e^{\omega_0 i t}+\beta e^{-\omega_0 i t}=\alpha (\cos(\omega_0 t)+i \sin(\omega_0 t))+\beta (\cos(\omega_0 t)-i \sin(\omega_0 t))=\alpha \cos(\omega_0 t)+\beta \cos(\omega_0 t)+\alpha i \sin(\omega_0 t)-\beta i \sin(\omega_0 t)=\cos(\omega_0 t)(\alpha+\beta)+i \sin(\omega_0 t)(\alpha-\beta)</math>כעת ניתן להפריד את החלק הממשי והחלק המדומה. נשים לב כי <math> \mathfrak{R} \mathfrak{e} \{x(t)\}= \cos(\omega_0 t)(\alpha+\beta)</math> ו<math> \mathfrak{I} \mathfrak{m} \{x(t)\}= \sin(\omega_0 t)(\alpha-\beta)</math>. כפי שאמרנו, ניקח רק את החלק הממשי. נגדיר <math> \alpha+\beta=A</math> ונכתוב את הפתרון אליו הגענו: <math> x(t)= A \cos (\omega_0 t)</math>. כדי להגיע לפתרון המלא אשר יתאר באופן יותר כללי ונרחב את המתנד ההרמוני, נוסיף הזזה אפשרית בתוך הפונקציה, ונאמר שהפתרון הכללי הוא <math> x(t)=A \cos(\omega_0 t+\phi)</math>.
 
כעת, לאחר שמצאנו את הפתרון המלא, נרצה מעט לחקור אותו. כידוע לנו, פונקציית הקוסינוס (בערך מוחלט) לא עולה מעבר ל<math> 1</math>, לכן, הגודל שסימנו באות <math> A</math>מאפיין את נקודות ההתרחקות המקסימלית של המערכת מנקודת שיווי המשקל. גודל זה יקרא '''אמפליטודה''' ולרוב יחושב מתנאי ההתחלה. למשל, אם ידוע שקפיץ נמתח באורך מסוים, אורך זה יהיה האמפליטודה.