קבוצה אינסופית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 9:
תכונה המבדילה קבוצה אינסופית מקבוצה סופית היא שקבוצה אינסופית יכולה להיות [[שקילות|שקולה]] ל[[תת קבוצה]] שלה השונה ממנה. לדוגמה, קבוצת כל ה[[מספר|מספרים הטבעיים]] <math>\!\, 1,2,3,\dots</math> שקולה לקבוצת כל ה[[מספר זוגי|מספרים הזוגיים]] <math>\!\, 2,4,6,\dots</math>, על-פי ההתאמה שמתאימה לכל מספר טבעי <math>\!\, n</math> את המספר הזוגי <math>\!\, 2n</math>.
ברור שההתאמה הזו מסדרת את המספרים משתי הקבוצות בזוגות, ושהזוגות ממצים את כל המספרים משתי הקבוצות. תכונה זו של המספרים הטבעיים הוצגה על-ידי [[גלילאו גליליי]], ברעיון שזכה לשם [[הפרדוקס של גלילאו]]. תכונה זו היא ההגדרה הפורמלית של קבוצה אינסופית: קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה. בניסוח אחר: קבוצה A היא אינסופית [[אם ורק אם]] קיימת [[פונקציה חד-חד ערכית]] מ-A ל-A שאינה [[התאמה על|על]] A.
כאשר מתקיימת שקילות בין שתי קבוצות אינסופיות פירוש הדבר שיש להן אותה [[עוצמה]]. הראינו שלקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הזוגיים יש אותה עוצמה. קבוצת המספרים הטבעיים היא [[קבוצה בת מנייה]], וכך גם כל קבוצה השקולה לה (כגון קבוצת המספרים הזוגיים). [[האלכסון של קנטור]] הוא [[הוכחה|הוכחתו]] של [[
תכונותיהן של קבוצות אינסופיות עשויות להיראות מפתיעות למדי למי שמורגל לעסוק רק בקבוצות סופיות (שהן הקבוצות שאנו פוגשים בחיי היומיום). המחשה פופולרית של תכונות אלה ניתנה על-ידי ה[[מתמטיקאי]] הנודע [[דויד הילברט]] בסיפור שזכה לשם [[המלון של הילברט]].
| |||