שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

 
===בנייה באמצעות חתכי דדקינד===
{{להשליםבעבודה}}
[[חתכי דדקינד|חתך דדקינד]] של מספרים רציונליים הוא קבוצה <math>A</math> המקיימת:
* <math>\empty\subset A\subset\mathbb Q</math>
* לכל <math>x\in A</math> וגם <math>y><x</math>, מתקיים <math>y\in A</math>
* ל<math>A</math> אין מינימום[[מקסימום]]: לא קיים <math>x\in A</math> כך שלכל <math>y\in A</math> מתקיים <math>y\geqleq x</math>.
כל חתך ייצג מספר ממשי (שהוא ה[[אינפימוםסופרמום]] שלו).
 
לכל מספר רציונלי <math>q</math>, החתך <math>\{x:x><q\}</math> הוא החתך המייצג את <math>q</math>.
 
עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור <math>\sqrt2</math> יתאים החתך <math>\{x:x><0\landlor x^2><2\}</math>, ועבור <math>e=2.71...</math> ([[E (קבוע מתמטי)|מספר אוילר]]) יתאים החתך <math>\left\{x:\exist n\in\mathbb{N},x><\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\right\}</math>.
 
את קבוצת חתכי דדקינד נסמן <math>\R</math> - שדה המספרים הממשיים.
 
נגדיר יחס סדר על השדה: <math>A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B</math>.
 
נגדיר פעולות על השדה:
* '''חיבור''': <math>A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}</math>.
 
לפני שניגש להגדרת הכפל, נראה שלכל מספר קיים נגדי: נגדיר את <math>-A=\{x-y|x<0\land y\in A^c\}</math>. נראה שמתקיים <math>A+(-A)=0</math>: יהי <math>a\in A+(-A)</math>. אז קיימים <math>x\in A,y<0,z\in A^c</math> כך ש-<math>x+y-z=a</math>. מתקיים <math>z>x</math>, ולכן <math>a=x+y-z<x+y-x=y<0</math>. לכן <math>A+(-A)\subseteq0</math>. יהי <math>a\in0</math>, אז מתקיים <math>a<0</math>. הקבוצה <math>A
</math> היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי <math>M\in \Q</math> כך שלכל <math>x\in A</math> מתקיים <math>x<M</math>. יהי <math>x<-M,x\in A</math> ונגדיר <math>z=-x>M</math>, כלומר <math>y\in A^c</math>, וכן נגדיר <math>y=a<0</math>. מתקיים <math>x+y-z=2x+y<-2M+y<y=a</math>. קיבלנו ייצוג של a כ- <math>a=x+y-z\land x\in A\land y<0\land z\in A^c</math>, לכן <math>a\in A+(-A)</math>. סה"כ קיבלנו <math>A+(-A)=0</math>. מקומוטטיביות החיבור שתוכך בהמשך נקבל ש<math>-A</math> הוא הנגדי של <math>A</math>.
 
==קישורים חיצוניים==
884

עריכות