שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 116:
:* כפל: נראה זאת כאשר <math>A,B\ge0</math>. שאר המקרים נובעים ממקרה זה. <math>0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not=\empty</math>. נגדיר את <math>M_1,M_2</math> כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר <math>M=M_1\cdot M_2</math>. לכל <math>0<z=xy\in AB</math> מתקיים <math>z=xy<M_1M_2=M</math>. עבור <math>z\le0</math> שוב מתקיים <math>z<M</math>. לכן <math>AB\not=\Q</math>. נניח כי <math>0<y<x\in AB</math>. אז קיימים <math>a\in A\setminus0,b\in B\setminus0</math> כך ש-<math>x=ab</math>. מתקיים <math>w:=\frac xy>1</math>. נגדיר <math>\alpha=\frac aw<a</math> אז מתקיים <math>y=\alpha\cdot b\in A\cdot B</math>. לכל <math>x\in A</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש-<math>x<a</math>, וכן לגבי <math>B</math>. יהי <math>z=xy\in AB</math>.אז קיימים <math>a>x,b>y</math> בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים <math>c:=ab\in AB</math> וכן <math>c>z</math>, לכן ל<math>AB</math> אין מקסימום. לכן <math>AB</math> הוא חתך.
* [[אסוציאטיביות]]:
:* חיבור: <math>A+(B+C)=\{x+y+z|x\in A\land y\in B\land z\in C\}=(A+B)+C</math>
:* כפל: <math>\forall A,B,C\ge0:A(BC)=\{xyz|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\land z\in C\setminus0\}\cup0=(AB)C</math>. שאר המקרים נובעים ממקרה זה.
* [[קומוטטיביות]]:
:* חיבור: <math>A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}=\{y+x|y\in B\land x\in A\}=B+A</math>
:* כפל: <math>\forall A,B\ge0: AB=\{xy|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\}\cup0=\{yx|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\}\cup0=BA</math>. שאר המקרים נובעים ממקרה זה.
* [[איבר האפס]]: נגדיר <math>0=\{x|x<0\}</math>. יהי <math>z=x+y\in A+0</math>, אז מתקיים <math>z<x\in A</math>, לכן <math>z\in A</math>. יהי <math>x\in A</math>, אז קיים <math>z>x</math> כך ש<math>z\in A</math>. נסמן <math>y=x-z<0</math>. מתקיים <math>x=z+y\in A+0</math>.
* [[איבר היחידה]]: נגדיר <math>1=\{x|x<1\}</math>.
* [[איבר נגדי]]:
* [[איבר הופכי]]:
| |||