טופולוגיה – הבדלי גרסאות

ענף נוסף של הטופולוגיה, הנקרא "'''[[טופולוגיה קבוצתית]]'''" עוסק בחקירת [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] באמצעות אוסף [[קבוצה פתוחה|הקבוצות הפתוחות]] שלהם. למעשה, אוסף הקבוצות הפתוחות של מרחב מסוים הוא מה שמגדיר את הטופולוגיה של אותו מרחב. הטופולוגיה הקבוצתית החלה כהכללה של [[חשבון אינפיניטסימלי|האנליזה על הישר הממשי]], בה הקבוצות הפתוחות מוגדרות כקבוצות המכילות [[סביבה (טופולוגיה)|סביבות פתוחות]] לכל נקודה בקבוצה. הסביבות הבסיסיות הן "[[כדור (טופולוגיה)|הכדורים הפתוחים]]" <math>B(a,\varepsilon) = \{ x \in \mathbb{R} \ : \ |x-a| < \varepsilon \} </math>. ההכללה הראשונה של [[הישר הממשי]] היא [[מרחב מטרי]], כלומר: מרחב המצויד ב[[מטריקה]] המודדת מרחק בין כל שתי נקודות. בשלב הבא נחקרו מרחבים טופולוגיים שהם לא בהכרח מטריים. במרחבים אלה הטופולוגיה הוגדרה באמצעות קבוצות פתוחות, וכך גם [[רציפות (טופולוגיה)|רציפות]] של פונקציה בין מרחבים טופולוגיים. נושא מרכזי במרחבים אלה הם [[אקסיומות ההפרדה]]: באיזהבאיזו מידה ניתן להפריד נקודות או קבוצות זרות באמצעות עטיפתן בקבוצות פתוחות זרות. מרחבים בהם ניתן להפריד שתי נקודות נקראים [[מרחב האוסדורף|מרחבי האוסדורף]]. תוצאות חשובות בנושא זה הם [[הלמה של אוריסון]] ו[[משפט טיטצה]]. מבחינה זו, המרחב שבו תכונות ההפרדה הן החזקות ביותר הוא [[מרחב מטרי|המרחב המטרי]]. נושא נוסף של מחקר בטופולוגיה קבוצתית הוא [[קבוצה קומפקטית|קומפקטיות]]. בישר הממשי קבוצה היא קומפקטית [[אם ורק אם]] היא [[קבוצה סגורה]] וחסומה. הטופולוגיה הקבוצתית מכלילה מושג זה למרחב טופולוגי כלשהו באמצעות שימוש במושג [[כיסוי פתוח]] - כלומר: כיסוי הקבוצה באוסף של קבוצות סופיות. נושא מחקר נוסף הוא [[קבוצה קשירה|קשירות של מרחבים טופולוגיים]]. דוגמה לקבוצה מעניינת שנחקרה במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית היא [[קבוצת קנטור]].

[[פונקציה]] מ[[מרחב טופולוגי]] אחד לאחר נקראת [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה. אם הפונקציה ממפה את ה[[מספרים ממשיים|מספרים הממשיים]] למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת ב[[חשבון אינפיניטסימלי]]. אם פונקציה רציפה היא [[חד חד ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת [[הומיאומורפיזם]] וה[[תחום_הגדרה|תחום]] של הפונקציה הומיאומורפי ל[[טווח של פונקציה|טווח]]. דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה. אם שני מרחבים הם הומיאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים זהים מבחינה טופולוגית. ה[[קובייה]] והספירה הם הומיאומורפיים, כמו גם ספל קפה וה[[בייגלה]] (טורוס). אך המעגל אינו הומיאומורפי לטבעת.