שדה המספרים הממשיים – הבדלי גרסאות

* [[איבר נגדי]]: הגדרנו כבר את <math>-A</math>, והראינו כי מתקיים <math>A+(-A)</math>.
* [[איבר הופכי]]: נגדיר <math>\forall A\ge0:A^{-1}=\left\{\frac xy\Bigg|x<1\land y\in A^c\right\}.\forall A<0:A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>. יהי <math>x\in A\cdot A^{-1}</math> כאשר <math>A\ge0</math>. אז קיימים <math>a\in A\setminus0,b<1,c\in A^c</math> כך ש<math>x=\frac{ab}{c}</math>. מכיוון ש<math>a<c</math>, נקבל <math>x=b\cdot\frac ac<b<1</math>, לכן <math>x\in1</math>.
* [[דיסטריבוטיביות]]: נראה זאת עבור <math>A\ge0\land B+C\ge0</math>: על פי ההגדרה, <math>A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus0\land y\in B\land z\in C\land y+z\ge0\}\cup0=(\{xy|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\}\cup0)+(\{xz|x\in A\setminus0\land z\in C\setminus0\}\cup0)=AB+AC</math>{{הערה|המעבר השני חוקי למרות שהנחנו בו ש<math>y\ge0</math>, כי מתקיים <math>A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus0\land y\in B\setminus0\land z\in C\setminus0\}</math>, מאחר שx יכול להיות גם קטן מ1 ולכן כל מספר שיתקבל ב<math>x(y+z)</math> כאשר <math>y+z\ge0</math> יכול להתקבל גם כאשר <math>y,z\ge0</math> באמצעות הכפלה בx קטן מספיק}}.
* [[דיסטריבוטיביות]]:
נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, <math>A\le B\Leftrightarrow A\subseteq B</math>, הוא אכן [[יחס סדר]] חלש:
מכיוון שהיחס <math>\subseteq</math> הוא [[יחס סדר חלקי]] חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו <math>A,B\in\R</math>, ונניח כי <math>A\not\subseteq B</math>, כלומר קיים <math>a\in A</math> כך ש<math>a\not\in B</math>. יהי <math>x\in B</math>. לא ייתכן כי <math>x\ge a</math>, כי אז יתקיים <math>a\in B</math>. לכן <math>x<a</math>, ומכיוון שA חתך נקבל <math>x\in A</math>. לכן <math>B\subseteq A</math>.
נראה כי השדה הוא [[שדה סדור]]:
* איזוטוניות ביחס לחיבור: <math>A\le B\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow\forall x\in A\land y\in C:x\in B\land y\in C\Rightarrow\forall z=x+y\in A+C,z\in B+C\Rightarrow A+C\le B+C</math>.
* איזוטוניות ביחס לכפל: יהי <math>C\ge0</math>, ונניח כי <math>0\le A\le B</math>{{הערה|המקרה <math>A\le B\le 0</math> נובע בקלות ממקרה זה. המקרה <math>A\le0\le B</math> נובע מכך ש<math>A\le0\le0\land 0\le0\le B</math>, ולכן על פי המקרים הקודמים מתקיים <math>AC\le0\cdot C\le BC</math>}}. לכן <math>0\subseteq A\subseteq B\Rightarrow \forall x\in A\setminus0,x\in B\setminus0\Rightarrow \forall x\in A\setminus0\land z\in C\setminus0,x\in B\setminus0\land z\in C\setminus0\Rightarrow \forall z=xy\in AC,z\in BC\Rightarrow AC\le BC</math>.
נראה כי השדה הוא [[שדה סדור שלם]]: תהי <math>S\subseteq\R</math> קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר <math>M=\bigcup_{A\in S}A</math>. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:
* <math>S\not=\empty\Rightarrow \exist A\in S\Rightarrow A\subseteq M</math>. מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה. מכיוון ש<math>S</math> חסומה, קיים <math>N</math> כך שלכל <math>A\in S</math> מתקיים <math>A\le N</math>, כלומר <math>A\subseteq N</math>. לכן <math>M\subseteq N\subset\Q</math>.
* יהי <math>x\in M</math>, ויהי <math>y<x</math>. אז קיים <math>A\in S</math> כך ש<math>x\in A</math>. לכן <math>y\in A</math>, כלומר <math>y\in M</math>.
* יהי <math>x\in M</math>. אז קיים <math>A\in S</math> כך ש<math>x\in A</math>. מכיוון שA חתך, קיים <math>y>x</math> כך ש<math>y\in A</math>. לכן <math>y\in M</math>.
נראה כי חתך זה הוא ה[[סופרמום]] של הקבוצה S: <math>\forall A\in S,A\subseteq \bigcup_{B\in S}B\Rightarrow \forall A\in S,A\le M</math>. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי <math>N</math> חסם מלעיל של <math>S</math>. יהי <math>x\in M</math>. קיים <math>A\in S</math> כך ש<math>x\in A</math>. מכיוון ש<math>A\subseteq N</math>, נקבל <math>x\in N</math>. לכן <math>M\le N</math>. לכן <math>M</math> הוא החסם העליון הקטן ביותר של <math>S</math>.
 
==קישורים חיצוניים==
891

עריכות