שדה מקומי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
הרחבה מסועפת של הערך |
||
שורה 1:
ב[[מתמטיקה]], [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נקרא '''שדה מקומי''' אם הוא
יש שני סוגים של שדות מקומיים: כאלו שבהם הערך המוחלט הוא ארכימדי, וכאלו שבהם הערך המוחלט אינו ארכימדי. שדות מן הסוג הראשון יש בדיוק שניים: [[שדה המספרים הממשיים|השדה הממשי]] ו[[שדה המספרים המרוכבים|השדה המרוכב]]. פעמים רבות מתייחס המונח "שדה מקומי" לשדות מן הסוג השני.
כל שדה מקומי שייך ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[איזומורפיזם]]) לאחת הקבוצות הבאות:
* שדות מקומיים ארכימדים (עם [[מאפיין של שדה|מאפיין]] 0): [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\,\mathbb{R}</math> ו[[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\,\mathbb{C}</math>.
* שדות מקומיים לא ארכימדים עם [[מאפיין של שדה|מאפיין]] 0: [[הרחבת שדות|הרחבות סופיות]] של [[שדה המספרים ה
<math>\,\mathbb{Q}_p</math>. * שדות מקומיים לא ארכימדים עם מאפיין
==שדות מקומיים לא ארכימדים==
שהיא פונקציה <math>\ \nu : F^{\times} \rightarrow \mathbb{Z}</math>, המקיימת את האקסיומות <math> \nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)</math> ו- <math>\ \nu(a+b)\geq \min\{\nu(a),\nu(b)\}</math>. ההערכה מוגדרת במקרה כזה לפי הנוסחה <math>\ |a|=\gamma^{\nu(a)}</math>, כאשר <math>0 <\gamma <1</math> הוא קבוע.
* חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים <math>\,\mathcal{O}^{\times}</math> שהיא בדיוק [[ספירה|ספירת]] היחידה <math>\,\{a \in F: |a| = 1\}</math>.▼
בשדה מקומי לא ארכימדי ''F'' משתלבים כמה מושגים בסיסיים ב[[טופולוגיה]] וב[[אלגברה]]:
* [[כדור (טופולוגיה)|כדור היחידה הסגור]] <math>\,\{a \in F:\nu(a)\geq 0\}</math>, שהוא [[קומפקטיות|קבוצה קומפקטית]], מהווה תת-חוג של השדה, הנקרא '''חוג השלמים''' <math>\,\mathcal{O}</math>. [[שדה שברים|שדה השברים של <math>\,\mathcal{O}</math> הוא ''F'' עצמו.
* שדה השברים <math>\,k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math> שהוא סופי (מאחר והוא קומפקטי ו[[טופולוגיה דיסקרטית|דיסקרטי]]).▼
▲* חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים <math>\,\mathcal{O}^{\times}</math>
<math>\,\{a \in F: \nu(a)=0\}</math>.
* חוג השלמים הוא [[חוג מקומי]], שהאידיאל המקסימלי שלו <math>\,\mathfrak{m}</math> שווה לכדור היחידה הפתוח <math>\,\{a\in F:|a|<1\}</math>. זהו [[אידיאל ראשי|אידיאל ראשי]], ואם <math>\ \pi</math> יוצר שלו, אז כל איבר שונה מאפס בשדה אפשר לכתוב, באופן יחיד, כמכפלה <math>\ \pi^n u</math> כאשר u הפיך בחוג השלמים. היוצר מקיים את התכונה <math>\ \nu(\pi)=1</math>.
▲*
* כל כדור אפשר לפרק כאיחוד של <math>\ q=|\bar{F}|</math> כדורים מרדיוס קטן יותר; לפיכך, השדה הוא [[מרחב טופולוגי]] [[מרחב לא קשיר לחלוטין|לא קשיר לחלוטין]].
==דוגמאות==
# המספרים ה''p''-אדים: חוג השלמים של
# השדה <math>\ \{\sum_{n=-N}^{\infty} a_n t^n : a_n \in \mathbb{F}_q\}</math> של טורי לורן הפורמליים מעל <math>\ \mathbb{F}_q</math>: חוג השלמים הוא האוסף טורי החזקות הפורמליים, <math>\ \{\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n : a_n \in \mathbb{F}_q\}</math>. האידיאל המקסימלי נוצר על-ידי t, ושדה השאריות שווה ל- <math>\ \mathbb{F}_q</math>.
# אוסף טורי לורן הפורמלים מעל שדה המספרים הממשיים אינם מהווים שדה מקומי - שדה השברים של שדה זה הוא שדה המספרים המרוכבים שאינו שדה סופי.
== הרחבות של שדה מקומי ==
אם E [[הרחבת שדות|הרחבה]] מממד סופי מעל שדה מקומי לא ארכימדי F, אז יש המשכה יחידה של ההערכה המוגדרת על F, להערכה <math>\ \nu_E</math> המוגדרת על E (כלומר, <math>\ \nu_E(x)=\nu(x)</math> לכל איבר x של F), וגם E הוא שדה מקומי. את ההרחבות הסופיות ממיינים לפי שני אינווריאנטים מספריים חשובים, הנקראים באופן מסורתי e ו- f.
* קבוצת הערכים שההערכה החדשה מקבלת כוללת, כמובן מאליו, את כל המספרים השלמים, אבל היא עשויה להיות גדולה יותר, מן הצורה <math>\ \frac{1}{e}\mathbb{Z}</math>, כאשר e מספר טבעי. אם e>1, ההרחבה '''מסועפת'''.
* שדה השאריות של E הוא מרחב וקטורי מעל שדה השאריות של F; מסמנים את הממד ב- f.
בכל הרחבה של F מתקיים ef=n, וכך הפרמטר e מודד את מידת הסיעוף, בעוד ש- f מודד את השינוי בשדה השאריות. שני הפרמטרים e ו-f כפליים, כלומר, אם <math>\ F\subset E \subset K</math> שדות מממד סופי, אז <math>\ e(K/F)=e(K/E)e(E/F)</math>, וכן ל- f.
הרחבה שבה e=1 נקראת '''הרחבה לא מסועפת''' של F - ויש בדיוק אחת כזו מכל מימד. הרחבות שבהן f=1 הן הרחבות '''מסועפות לחלוטין''', והן נוצרות על-ידי סיפוח שורשים ל[[קריטריון אייזנשטיין|פולינום אייזנשטיין]] מעל חוג השלמים.
בכל הרחבה E של F יש תת-שדה לא מסועף מקסימלי, וההרחבה של E מעליו היא מסועפת לחלוטין.
==ראו גם==
| |||