ויקיפדיה

שיחת משתמש:עוזי ו./בטיפול – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
אין תקציר עריכה
שורה 213:
 
'''residually finite group''' (חיתוך ת"ח הנורמליות מאינדקס סופי הוא טריוויאלי). כל חבורה ליניארית היא כזו (Malcev, 1940).
<a,b|a^2ba^{-2}=b^2> כזו אבל לא ליניארית. כל חבורה חופשית היא כזו בזכות ההצגה של F_2 במטריצות מעל השלמים. אוסף החבורות ה-r.f. נשמר תחת מכפלה ישרה. לכל חבורה r.f. מוצגת סופית יש בעיית מלהמילה פתירה. חבורת האוטומורפיזמים של חבורה res.fin. נוצרת סופית היא res.fin. לעומת זאת חבורת האוטומורפיזמים של F_{\omega{ אינה res.fin.
 
"'''[[חבורה קוהרנטית]]'''". כל תת-חבורה נוצרת סופית היא מוצגת סופית (Serre 1974). החבורה היסודית של יריעה 3-ממדית סגורה היא קוהרנטית. <math>\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Q})</math> אינה קוהרנטית. גם <math>\ \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2</math> אינה קוהרנטית. לא ידוע האם כל ה[[חבורה עם יחס יחיד|חבורות עם יחס יחיד]] הן קוהרנטיות.
שורה 230:
<math>\ \hat{G}</math>, שאבריו כביכול מהצורה g/n (כמו הרציונליים מהשלמים). המנה G^/G מפותלת, ו-G^ מכילה כל חבורה בעלת תכונה זו.
 
'''[[חבורת ארטין]]''' (אין קשר ל[[חבורה ארטינית]]). כל מונויד ארטין ניתן לשיכון בחבורת ארטין המתאימה (Paris); זוהי חבורת השברים כאשר חבורת קוקסטר המתאימה היא סופית, אבל לא במקרה הכללי (אפילו החבורה החופשית אינה חבורת שברים של המונויד החופשי). בעיית המלההמילה במונויד ארטין היא טריוויאלית, אבל בחבורת ארטין כללית - עדיין פתוחה.
 
'''[[בעיות דן]]'''. בעיית המלההמילה, בעיית הצמידות ובעיית האיזומורפיזם. דן פתר את כולן ב-1912 עבור ההצגות הקנוניות של חבורות יסודיות של משטחים סגורים. יש חבורות מוצגות סופית שבהן בעיית המלה פתירה ובעיית האיזומורפיזם אינה פתירה. בעיות הכרעה נוספות: בעיית היצירה (קבע האם קבוצה סופית נתונה, יוצרת חבורה נ"ס נתונה). בעיית היצירה של <math>\ \mathbb{F}_n \times \mathbb{F}_n</math> עבור n>=6 אינה פתירה. בעיית המלההמילה המוכללת ביחס לתת-חבורה של חבורה מוצגת רקורסיבית: אלגוריתם להכריע אם איבר שייך לתת-החבורה. בעיית ההצמדה המעוותת שואלת, בהנתן הצגה ואוטומורפיזם, האם <math>\ b= \sigma(x)ax^{-1}</math>. יש חבורות בהן בעיית ההצמדה פתירה ובעיית ההצמדה המעוותת אינה פתירה. בעיית ההצמדה המעוותת פתירה בחבורה מוצגת סופית virtually free.
 
'''[[בעיית המלה]]'''. אחת מבעיות ההכרעה העיקריות באלגברה קומבינטורית (בתורת החבורות, וכן חבורות למחצה וחוגים). אחת משלוש "בעיות דן". הבעיה (עבור הצגה עם מספר יוצרים סופי) אינה תלויה בהצגה. Magnus 1932: בעיית המלה פתירה ב[[חבורה עם יחס יחיד|חבורות עם יחס יחיד]] (לא ידוע האם יש חבורה עם שני יחסים שבה הבעיה אינה פתירה). אינה כריעה במונויד <math>\ <a,b,s,t,z|as=sa, at=ta, bs=sb, bt=tb, zta=tz, zsb=sz, tta=ttaz></math>;
Tsejtin, 1958. הדוגמה הראשונה לחבורה מוצגת סופית עם בעיית מלה לא כריעה היא של Novikov (1955) ו-Boone (1959).
הבעיה פתירה בחבורה (הנתונה על-ידי יוצרים ויחסים) אם ורק אם יש פונקציה איזופרימטרית רקורסיבית, כלומר f רקורסיבית כך שבכל מסילה המייצגת מלה טריוויאלית, מספר היחסים המעורבים חסום על-ידי f של אורך המלה. משפט Boone-Higman (1973): לחבורה נוצרת סופית יש בעיית מלה פתירה אם ורק אם היא מוכלת בחבורה פשוטה המוכלת בחבורה מוצגת סופית.
 
'''[[ייצוג לפי יוצרים ויחסים]]'''. בין שני ייצוגים סופיים של אותה חבורה אפשר לעבור בסדרה של צעדי Tietze (הוספת או השמטת יחס טריוויאלי, והוספת או השמטת יוצר x והיחס x=r). אם F חופשית ו-R נורמלית, Magnus 1936 - שיכון של F/[R,R] למטריצות מהצורה <math>\ ((F/R *)(0 1)</math> כאשר הרכיב * הוא מודול חופשי מעל F/R. זה הבסיס למשפט Lewin על שיכון A/IJ במטריצות משולשיות-עליונות עם אלכסון A/I ו- A/J. ה'''דרגה''' של חבורה היא מספר היוצרים המינימלי (יש הגדרות אחרות).
שורה 265 ⟵ 261:
"משפט החופש" (Freiheitssatz) - אם היחס (cyclically reduced) כולל יוצר x, אז שאר היוצרים יוצרים חבורה חופשית.
(ב-1930 הראה Magnus שבין החבורות עם יחס יחיד, היחידות שאינן מכילות חבורה חופשית הן ציקליות ו-<a,b|aba^{-1}=b^k>). (יש הכללות של ה-Freiheitssatz לחבורות למחצה ולמונוידים, לב שניאורסון 1974; וגם גרסה לחוגים, מקר-לימנוב).
מסקנה: בעיית המלההמילה פתירה (Magnus 1932). בעיית הצמידות פתירה לחבורה עם יחס יחיד שהיא מפותלת (B.B.Newman 1968; המקרה הכללי אינו ידוע). יש אלגוריתם לבעיית האיזומורפיזם בין חבורות מפותלות, אבל לא במקרה הכללי.
הדרך היחידה להציג חבורה חופשית באמצעות יחס יחיד, היא כאשר היחס טריוויאלי, או ניתן להשלמה לבסיס (Whitehead 1937).
אם היחס r הוא חזקה s^m עבור m>1, אז כל איבר מסדר סופי בחבורה הוא צמוד של חזקה של s (וכל תת-חבורה סופית צמודה לתת-חבורה של החבורה הציקלית ש-s יוצרת); אחרת אין אברים מסדר סופי. אם r קומוטטור, החבורה חסרת פיתול. תמיד יש תת-חבורה נורמלית חסרת פיתול מאינדקס סופי. אם יש לפחות שלושה יוצרים, לחבורה מרכז טריוויאלי. אם יש שני יוצרים והחבורה אינה אבלית, אז המרכז ציקלי אינסופי (יש אלגוריתם Baumslag-Taylor 1968 לקבוע אם המרכז טריוויאלי). חבורות עם שני יוצרים הן הופפיות.
שורה 272 ⟵ 268:
אם היחס אינו חזקה, אז לחוג החבורה (מעל Z) יש רזולוציה חופשית 0->M->ZG->Z->0, כאשר M חופשי מדרגה 1; לכן cdG<=2, ולפיכך הוא 2 אלא אם G חופשית. אם היחס חזקה, יש רזולוציה חופשית אינסופית ממחזור 2, שבה כל המודולים ציקליים.
מפתח טכני: Magnus re-writing: כל חבורה כזו היא הרחבת HNN של חבורה עם יחס קצר יותר (ובסופו של דבר - של חבורה חופשית). אם יש פיתול ושלושה יוצרים, אפשר לפרק את החבורה למכפלה amalgamated.
בעיית המלההמילה בחבורה למחצה עדיין אינה פתורה: עבודות של Adian (שנות הששים) ואחרים השאירו את המקרים <a,b|a=bWa> ו-<a,b|bWa=aUa>.
מקורות: Lyndon-Schupp, Combinatorial group theory, II.5-6, IV.5.
 
שורה 278 ⟵ 274:
'''[[יריעה של חבורות]]'''. אוסף החבורות המקיים חוק מסויים, למשל [x^2,y^3]=[x^3,y^2]. ספרה של H. Neumann 1967.
 
'''[[תכונת מרקוב]]'''. (קטגוריה: אי-כריעות אלגוריתמית). תכונה של חבורות מוצגות סופית, כך שיש חבורה עם התכונה, ויש חבורה (מ"ס) שאינה משוכנת באף חבורה (מ"ס) עם התכונה. למשל: להיות טריוויאלית, להיות סופית, אבלית, חסרת פיתול, חופשית. תכונה היא '''תורשתית''' אם היא עוברת לת"ח: כל תכונה תורשתית לא טריוויאלית של חבורות מ"ס היא מרקוב. גם - אם לכל חבורה מ"ס עם P יש בעיית מלהמילה פתירה, אז P מרקוב. להיות פשוטה היא תכונת מרקוב לא תורשתית. להיות בעלת דרגה (=מספר יוצרים מינימלי) 2 אינה תכונת מרקוב. משפט: תכונות מרקוב אינן כריעות אלגוריתמית.
 
'''מאגמה'''. המגמה החופשית <X> מתאימה לעצים בינאריים שלמים (לכל לא-עלה יש שני צאצאים) עם עלים מאונדקסים על-ידי X.
שורה 401 ⟵ 397:
(Lovasz, 1979), אבל לשאר המעגלים באורך אי-זוגי הערך המדוייק אינו ידוע.
 
'''[[סדרת מורס]]''' (Morse-Thue, 1906, 1912) מתקבלת מהצבות 0->01 ו- 1->10. זו "סדרה אוטומטית", שאין בה אף מלהמילה מהצורה <math>\ w^{2+\epsilon}</math>, למרות שאיננה חופשיה מריבועים. מקס אויבה השתמש בסדרה (1929) כדי להראות שכלל הסיום הגרמני בשחמט מאפשר משחקים אינסופיים. הסדרה מדגימה ש'''סף החזרות''' (הסופרימום של alpha עבורו קיימת מלהמילה אינסופית ללא חזקות alpha או יותר) של אלפבית בן שתי אותיות הוא 2; ידוע גם שסף החזרות של 3 אותיות הוא 7/4 (Dejean 1972), של 4 אותיות 7/5 (Pansiot 1984), ושל n>4 אותיות n/(n-1) (משוער בלבד עבור n=15..30).
 
'''[[קבוע צ'יגר]]'''. מוגדר בגרף (או ביריעה היפרבולית) לפי <math>\ h = \min_S \frac{e(S,V-S)}{\min(vol S, vol (V-S))}</math>. מקיים את אי-השוויון <math>\ 2 h \geq \lambda \geq h^2/2</math> (מכאן גם קשר לתכונות שונות של אקספנדרים).
הוספת נושא
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/שיחת_משתמש:עוזי_ו./בטיפול"
חזרה לדף המשתמש של "עוזי ו./בטיפול".