לוגריתם גאוסיאני – הבדלי גרסאות

נוספו 1,445 בתים ,  לפני 7 חודשים
לוגריתמים אלו משמשים במערכת האריתמטית המכונה "מערכת המספרים הלוגריתמית" (ב[[אנגלית]]: ''LNS - Logarithmic number system'').
 
== השקילות בין לוגריתמים גאוסיאנים לחישוב עקיף סטנדרטי ==
להלןנוכיח מובאות שתי דוגמאות המדגימות את השקילות בין המבנהשהמבנה החישובי של לוגריתמים גאוסיאנים לביןשקול זהלחישוב שללפי החישובהשיטה העקיףהעקיפה (חישוב עקיף פירושו מציאה תחילה של זוג המספרים לפי ערכי הלוגריתמים שלהם, חישוב סכומם ולאחר מכן חישוב הלוגריתם של הסכום). לשם כך נרשום את "פונקציית הסכום" <math>s_e(z)</math> לפי המשתנים המקוריים <math>|X|</math> ו-<math>|Y|</math>:
 
: <math>z = y-x = \ln (\frac{|Y|}{|X|})\implies s_e(y-x) = \ln 2 + \frac{\ln (\frac{|Y|}{|X|})}{2} + \ln (\cosh(\frac{\ln (\frac{|Y|}{|X|})}{2})) = \ln 2 + \ln (\sqrt{\frac{|Y|}{|X|}})+ \ln (\frac{\sqrt{\frac{|Y|}{|X|}}+\sqrt{\frac{|X|}{|Y|}}}{2})</math>
* כאשר <math>|X| = |Y|</math> אז <math>z = x - y = 0</math> ולכן <math>s_e(z=0)=\ln 2</math>. מכאן נקבל:
 
לפי חוקי הלוגריתמים, סכום של לוגריתמים של משתנים שווה ללוגריתם של מכפלת המשתנים, ולכן:
: <math>\ln (|X|+|Y|) = x + \ln 2 = \ln (2|X|) </math>,
 
: <math>s_e(y-x) = \ln (\frac{2\sqrt{|Y|/|X|}\cdot (\sqrt{|Y|/|X|}+\sqrt{|X|/|Y|})}{2}) = \ln ((|Y|/|X|) + 1)</math>
כלומר שתי הדרכים החישוביות שקולות.
 
ולסיכום נקבל שחישוב לפי לוגריתמים גאוסיאנים מוביל לתוצאה:
* נניח <math>|Y| = 2|X|</math> ונקבל <math>z = \ln 2|X| - \ln |X| = \ln 2</math>, ומכאן נקבל:
 
: <math>x + s_e(z = \ln 2y-x) = \ln 2 +\frac{\ln 2}{2} |X|+\ln (\cosh(\frac{\ln 2}{2})|Y|/|X|) = \ln \sqrt{8}+\ln (\frac{\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{-1}}{2}) = \ln \sqrt{8}(|Y|+\ln(\frac{3}{\sqrt{8}}|X|)= \ln 3 </math>,
 
כאשר את הנוסחה עבור לוגריתם של הפרש מוכיחים באופן דומה. ההבדל המרכזי בין חישוב בעזרת לוגריתמים גאוסיאנים לחישוב עקיף הוא שהדרך הראשונה מאפשרת להגיע אל אותו הדיוק (הנמדד לפי כמות הספרות אחרי [[נקודה עשרונית|הנקודה העשרונית]]) בקביעת התוצאה בעזרת מספר מועט יותר של [[ארבע פעולות החשבון|פעולות חישוב אלמנטריות]] - כיוון שבדיוק מחצית מהאיברים בטור טיילור של <math>s_e(z)</math> מתאפסים, מובטחת [[התכנסות (מתמטיקה)|התכנסות]] מהירה יותר אל ערך הלוגריתם של סכום המספרים. לשם השוואה, בחישוב בדרך העקיפה נדרש לבצע שתי העלאות של הקבוע המתמטי e בחזקה, חיבור שתי התוצאות ולאחר מכן חישוב הלוגריתם של הסכום - זאת כאשר הן בטור טיילור של פונקציית ה[[אקספוננט]] והן בטור טיילור של פונקציית הלוגריתם אף אחד מהמקדמים בטור טיילור אינו מתאפס. לכן, חישוב בעזרת לוגריתמים גאוסיאנים חסכוני יותר מבחינה חישובית.
ולכן <math>\ln (|X|+|Y|) = x + \ln 3 = \ln (3|X|) </math>, כלומר החישוב דרך לוגריתמים גאוסיאנים מניב אותה התוצאה כמו החישוב העקיף.
 
== מקורות ==