קרל פרידריך גאוס – הבדלי גרסאות

נוספו 669 בתים ,  לפני 6 חודשים
כתבים אחרים שלו מהתקופה מכילים אזכור של משוואות ה[[פסאודוספירה]] (משטח אותו מכנה גאוס "הנגדי של הספירה") – הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה. במכתב אחר הוא אף הביע דעתו על ההשלכות של הנושא וטען שייתכן שהטבע הגאומטרי של המרחב הפיזי הוא לא-אוקלידי, ושניתן להכריע בשאלה זאת באמצעם [[אמפיריציזם|אמפיריים]] (הוא הצהיר שהגאומטריה הלא אוקלידית היא [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] אולם הפרמטר היסודי שמאפיין אותה אינו ניתן לקביעה [[אפריורי]]ת){{הערה|באחד ממכתביו טען גאוס שבמרחב עם גאומטריה היפרבולית יש גבול תחתון גדול מאפס לכמה ה[[פרלקסה]] יכולה לקטון, אולם לא הציע הצעה ספציפית. לובצ'בסקי היה הראשון להציע את מבחן הפרלקסה כאמצעי להכריע בסוגיית הטבע הגאומטרי של המרחב הפיזי; הוא הציע למדוד את המיקום של הכוכב המרוחק [[סיריוס]] בשני מיקומים של כדור הארץ (בפער זמן של 6 חודשים) ולבדוק אם אכן השינוי במיקומו גדול בהרבה מזה שמנבאת הגאומטריה האוקלידית.}}.
 
בשלהי תקופה זאת, גאוס הביע באחד ממכתביו את רצונו להעלות על הכתב כמה מרעיונותיו בדבר הגאומטריה החלופית, משום "שלא רצה שרעיונותיו אלו ייעלמו עמו". בכתב לא מפורסם קצר משנת 1831 שכותרתו "התאוריה של קווים מקבילים"{{הערה|Zur Theorie der Parallellinien (Nachlass 1831) [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN236010751/PPN236010751___LOG_0063.pdf]|כיוון=שמאל}}, המהווה את ניסיונו הראשון לתעד שיטתית את עבודתו, הוא כמעט הגיע להגדרה מוצקה של מושג ההורוצייקל{{הערה|Expeditions in Mathematics,p.101|כיוון=שמאל}}("מעגל גבולי"), אחד ממושגי המפתח בבניית הגאומטריה ההיפרבולית.; גםככל החיבורהנראה הקצרצרהאבחנה "התאוריההמוקדמת ביותר של הקוגאוס הישראשר והמישור"מתקרבת להמשגה של המעגל הגבולי מופיעה במכתבו משנת 1804 לוולפגנג בולאי (אביו של יאנוש בולאי), שם גאוס מתייחס{{הערה|ZurGAUSS TheorieAS derA geradenGEOMETER, LinieH.S.M. und der Ebene|כיוון=שמאלCOXETER}} מתוארךלהיתכנות לשנהשל זאת,מצולע ובושווה תקףצלעות גאוסושווה אתזוויות מושגאשר המישורמתבדר כלאבכיוון מבוססמסוים מספיק- במילים אחרות, וטעןגאוס מציין שבגאומטריה החלופית ייתכן מצולע "משוכלל" שלעולם לא נסגר כיעל הואעצמו אינו(מצולע מושגכזה יסודינקרא אלאכיום מושגמצולע נגזרהורוציקלי).
 
גם החיבור הקצרצר "התאוריה של הקו הישר והמישור"{{הערה|Zur Theorie der geraden Linie und der Ebene|כיוון=שמאל}} מתוארך לתקופה זאת, ובו תקף גאוס את מושג המישור כלא מבוסס מספיק, וטען כי הוא אינו מושג יסודי אלא מושג נגזר.
 
==== 1832 ואילך ====
התקופה השלישית מתוארכת להתוודעות שלו למכתבו של יאנוש בולאי מ-1832; מכתבו של בולאי הפתיע אותו מאוד ועורר בו את הצורך לתבוע זכות ראשונים. בתגובה למכתב זה של בולאי, גאוס שלח בפעם הראשונה הוכחות ולא רק תוצאות, ובאופן ספציפי שלח הוכחה [[גאומטריה סינתטית|סינתטית]] חדשניתמקורית לטענה שהגרעון הזוויתי של משולש בגאומטריה היפרבולית פרופורציונלי לשטח שלו, המתבססת על פירוק משולש אסימפטוטי (דהיינו משולש שסכום זוויותיו אפס מעלות) למשולשים קטנים יותר. במכתב שלו גאוס טבע גם את המונחים "הורוצייקל" (באנגלית horocycle), "הורוספירה" (באנגלית horosphere), ו"עקום שווה מרחק" (המהווה הכללה של ישר מקביל לישר נתון). לרעיונות אלו יהיה משקל חשוב בעתיד התחום – בפיתוח [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודלים]] שונים של הגאומטריה ההיפרבולית.
 
אולם תוצאות אלו היו תוצאות מבודדות בלבד, ועבודתו של גאוס בשנים 1790–1832 חסרה את הנפח והשיטתיות שבעבודתם של [[לובצ'בסקי]] ובולאי. הפיתוח השיטתי הראשון של תוצאותיו מופיע בכמה כתבים לא מפורסמים שלו שרובם מתוארכים לאחרי 1840, זמן קצר לאחר הפרסום של לובצ'בסקי; באחד מהם מקיש גאוס את הקשרים המטריים בין צלעותיהם של משולשים סופיים (לא [[אינפיניטסימל]]יים) בגאומטריה היפרבולית בצורה אקסיומטית. ייתכן שגאוס ידע על תוצאות אלו זמן רב קודם לכן, והחליט לרשמן באופן שיטתי רק לאחר הפרסומים של בולאי ולובצ'בסקי, אך נושא זה נתון לספקולציות בקרב היסטוריונים. אין ספק שהחל משנת 1840, הוא נמנה עם המתמטיקאים הספורים בעולם שהבינו לעומק ופיתחו את הגאומטריות החדשות, אולם המחלוקת כאן היא באשר לנושא זכות הקדימות על הגילוי.