משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←שימוש במספרים מרוכבים: קישורים פנימיים, הגהה |
|||
שורה 118:
[[מכפלת אוילר]] נותנת מידע על התפלגות כל הראשוניים, בעוד שעבור משפט דירכלה יש צורך במידע על התפלגות הראשוניים בסידרה חשבונית. לא ניתן להתאים את מכפלת אוילר באופן ישיר כדי שהיא תערב רק מספרים בתת קבוצה מסוימת, אולם לעיתים ניתן להתאים את מכפלת אוילר כדי שהיא תערב את כל המספרים עם משקלים מסוימים. עבור פונקציה חסומה <math>a:\N \to \C</math> אפשר להגדיר גרסה ממוקשלת של פונקצית זטא של רימן באופן הבא:
<math display="block">L(s,a):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a(n)}{n^s}.</math>
טור כזה נקרא באופן כללי [[טור דיריכלה]]. בדרך כלל, לא יהיו לפונקציה זאת תכות טובות כמו לפונקצית זטה של רימן. אולם עבור בחירות מסוימות של <math>a</math> יהיו לפונקציה זאת תכונות טובות לרבות מכפלת אוילר. מקרה אחד כזה הוא כאשר הפונקציה <math>a</math> היא [[קרקטר
{| width="100%" class="wikitable" align="right"
! הגדרה
שורה 128:
#<math>\chi(1)=1</math>
|}
לטורי דירכלה עם פונקצית משקל שהיא קרקטר דיריכלה קוראים [[פונקציות L של דירכלה|פונקציות <math>L</math> של
<math display="block">L(s,\chi)=\prod_{p - \text{ינושאר}}\frac{1}{1-\frac{\chi(p)}{p^s}}</math>
מיכיון שקרקטר דירכלה הוא [[פונקציה מחזורית]] (תנאי 1) ניתן לראות בו כפונקציה על ה[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הסופי <math>\Z|_m:=\Z/m\Z</math>. מכיון שהוא מתאפס על האברים הלא [[איבר הפיך|הפיכים]] בחוג זה (תנאי 2) ניתן לראת בו כפונקציה על [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורת]] ה[[
אוסף כל קרקטרים של חבורה <math>G</math> נקרה [[דואליות פונטריאגין|החבורה הדואלית]] של <math>G</math> ומסומן ב-<math>\widehat G</math>. בהתאם אוסף כל קרקטרי דיריכלה מנושא <math>m</math> מסומן ב-<math>\widehat{\Z|_m^\times}</math>.
| |||