אינטגרל – הבדלי גרסאות

הוסרו 63 בתים ,  לפני 6 חודשים
לא בהכרח. למשל, לאינטגרל המסויים של פונקציית דיריכלה יש משמעות בהקשר של אינטגרביליות לבג.
מ (הגהה, ויקיזציה, עיצוב)
(לא בהכרח. למשל, לאינטגרל המסויים של פונקציית דיריכלה יש משמעות בהקשר של אינטגרביליות לבג.)
תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד עריכה מתקדמת מהנייד
בחלוקה נתונה <math display="inline">a = x_0 < x_1 < \dotsb < x_{n-1} < x_n = b</math>, אפשר לבחור נקודה <math display="inline">\xi_i \in [x_{i-1},x_i]</math> מכל תת־קטע. חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מהתת־קטעים, נקראת '''חלוקה מסומנת'''. לחלוקה כזו אפשר להגדיר את '''סכום רימן''' <math> \sigma(f,\pi) = \sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i) \cdot |x_i - x_{i-1}|}</math>. זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע <math display="inline">[x_{i-1},x_i]</math> וגובהם <math display="inline">f(\xi_i)</math> (עבור <math display="inline">i=1,\dotsc,n</math>), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם ל[[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] של הפונקציה בנקודה <math display="inline">\xi_i</math>). כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר <math display="inline">[a,b]</math>.
 
פונקציה <math display="inline">f(x)</math>, המוגדרת בקטע <math display="inline">[a,b]</math>, היא '''אינטגרבילית לפי רימן''', אם לכל בחירה של סדרת חלוקות מסומנות <math display="inline">\pi_1,\pi_2,\dotsc</math> בעלות גדלים <math display="inline">\lambda(\pi_m)</math> ה[[גבול של סדרה|שואפים]] לאפס, הגבול <math>\lim_{m \rightarrow \infty} \sigma(f,\pi_m) </math> קיים (היינו, הסדרה מתכנסת). במקרה כזה, כל הגבולות <math>\lim_{m \rightarrow \infty} \sigma(f,\pi_m) </math> שווים זה לזה{{הערה|1=אם הגבולות של שתי סדרות נבחרות שונים זה מזה, אז לסדרת הסכומים המתקבלים משילוב הסדרות של חלוקות לסירוגין, פעם זו ופעם זו, לא יהיה גבול.}}, והאינטגרל המסוים מוגדר כערך (המשותף) של כל הגבולות; ערך זה הוא השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה־<math display="inline">x</math>. אם לא כל הגבולות האלה קיימים, הפונקציה אינה אינטגרבילית לפי רימן, ואז אין לאינטגרל המסוים כל משמעות.
 
את ערך האינטגרל מסמנים כך: <math>\int_a^b f(x) \,dx</math>. הביטוי שבתוך האינטגרל, <math display="inline">f(x)</math>, נקרא '''אינטגרנד'''. המשתנה <math display="inline">x</math> בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", והוא קשור לתחום האינטגרציה – המשמעות היא שהנקודה השמאלית בתחום היא <math display="inline">x=a</math> והנקודה הימנית היא <math display="inline">x=b</math>. אם מחליפים את משתנה האינטגרציה, כדי לשמור על ערך האינטגרל יש לשנות את תחום האינטגרציה בהתאמה. לדוגמה, אם <math display="inline">t=kx</math>, אזי מתקיים: <math>\int_a^b f(x) \,dx = \int_{ka}^{kb} f(t) \,dt</math>.