ויקיפדיה

תורת הקבוצות האקסיומטית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שורה 14:
להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.
 
שבעשמונה האקסיומות של ZFC רשומות להלן. במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית. אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: [[אקסיומת ההפרדה]]) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.
 
# [[אקסיומת ההיקפיות]]: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
# [[אקסיומת האיחוד]]: לכל קבוצה קיים ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] שלה. כלומר, לכל קבוצה x קיימת קבוצה y אשר האיברים שלה הם בדיוק האיברים של איברי x.
# [[אקסיומת האינסוף]]: קיימת קבוצה אינסופית. פורמלית: קיימת קבוצה X, שאינה ריקה, וכך שלכל אבר Y ששייך אליה, גם הקבוצה {Y} שייכת אליה.
# [[אקסיומת ההחלפה]]: לכל קבוצה z, קבוצה <math>A</math> והצהרה P(x,y,a)&lrm; אם כשמציבים <math>a=A</math> ההצהרה מגדירה [[פונקציה]] מוגדרת חלקית <math>f</math> על <math>z</math>, (זאת אומרת שעובר כל <math>x\in z</math> קימת לאויחידה יותר מקבוצהקבוצה <math>y</math> אחת כך שההצהרה <math>P(x,y,A)</math> תיתקיים) אז קיימת קבוצה שהאיברים בה הם בדיוק תמונות האיברים של הקבוצה z (עליהם <math>f</math> מוגדרת) תחת <math>f</math>.
# [[אקסיומת קבוצת החזקה]]: לכל קבוצה קיימת [[קבוצת החזקה]] שלה. כלומר, לכל קבוצה x קיימת קבוצה y כך שאיברי y הם בדיוק כל [[תת קבוצה|תת הקבוצות]] של x.
# [[אקסיומת היסוד]]: כל קבוצה x שאינה ריקה מכילה איבר y כך ש-y ו-x הן [[קבוצות זרות]].
# [[אקסיומת הבחירה]]: בהינתן קבוצה x של קבוצות זרות הדדית שאינן ריקות, קיימת קבוצה y אשר מכילה בדיוק איבר אחד מתוך כל אחד מאיברי x.
*# [[אקסיומת הקבוצה הריקה]]: קיימת [[הקבוצה הריקה|קבוצה ללא איברים]]. קבוצה זו מסומנת {} או <math>\emptyset</math>. לחלופין - ניתן להגדיר את הקבוצה הריקה כאוסף האיברים השונים מעצמם.▼
 
במקור, צרמלו הוסיף שלוששתי אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:
* [[אקסיומת ההפרדה]]: לכל קבוצה והצהרה P(x)&lrm; קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האיברים x בקבוצה המקורית המקיימים P(x)&lrm;.
▲* [[אקסיומת הקבוצה הריקה]]: קיימת [[הקבוצה הריקה|קבוצה ללא איברים]]. קבוצה זו מסומנת {} או <math>\emptyset</math>. לחלופין - ניתן להגדיר את הקבוצה הריקה כאוסף האיברים השונים מעצמם.
* [[אקסיומת הזוג הלא סדור]]: אם x ו-y הן קבוצות, אז גם {x,y}, היא קבוצה, אשר המכילה את x ואת y בלבד.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/תורת_הקבוצות_האקסיומטית"