תת-סדרה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←ניסוח פורמלי: עריכה, הרחבה |
←ניסוח פורמלי: עריכה, הרחבה |
||
שורה 7:
תהא <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה כלשהי, ותהא <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> [[סדרה עולה ממש]] של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]]. אז הסדרה <math>\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty</math> נקראת תת-סדרה של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math>. מהגדרת סדרת האינדקסים <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> כסדרה עולה, נובע שהיא מתכנסת במובן הרחב (כלמור לגבול סופי או אינסופי). יותר מכך, ניתן להוכיח שכסדרה עולה ממש של טבעיים <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> לא חסומה, ולכן <math>n_k \xrightarrow{n \to \infty} \infty</math>.
ראשית, נוכיח באינדוקציה שלכל <math>k</math> טבעי מתקיים <math>n_k \ge k</math>. עבור <math>k=1</math> מתקיים <math>n_1 \ge 1</math> (כי 1 מוגדר כטבעי הקטן ביותר). נניח ש-<math>n_k \ge k</math>, אז מהגדרת <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> כעולה ממש נובע ש-<math>n_{k+1}>n_k </math>, ומכיוון שמדובר בסדרה של טבעיים קיים <math>l \in \mathbb{N}</math> כך ש-<math>n_{k+1} = n_k + l </math>. מהנחת האינדוקציה ומכך ש-<math>l</math> טבעי נובע <math> n_k + l \ge k+1 </math> (כי מ-<math>l \in \mathbb{N}</math> נובע <math>l \ge 1</math>), ולכן <math>n_{k+1} \ge k+1</math>. הוכחנו אם כך את אי-השיוויון <math>n_k \ge k</math>, ולכן לפי [[כלל הסנדוויץ'|כלל הפיצה]] <math>\lim_{k \to \infty} n_k = \lim_{k \to \infty} k=\infty </math>.
נניח בשלילה ש-<math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> חסומה, אז <math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> חסומה מלעיל ולכן קיים <math>M</math> כך שלכל <math>k</math> טבעי <math>n_k<M</math>. נסמן <math>K=\lceil M \rceil </math>, אז לכל <math>k</math> טבעי <math>n_k<M\leq \lceil M \rceil =K </math>, ומכיוון ש-<math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> סדרה של טבעיים אז לכל <math>k</math> טבעי <math>n_k\in \left\{ 1,2,...,K-1 \right\}</math>. מכאן לפי [[עיקרון שובך היונים]] קיים <math>l<K</math> טבעי כך ש-<math>n_l=n_K</math> בסתירה לכך ש-<math>\{n_k\}_{k=1}^\infty</math> עולה ממש ולכן <math>n_l<n_{l+1}<...<n_K</math>. לחילופין, ניתן להשתמש בהכללה של שובך היונים לקבוצות אינסופיות ולהגיד ש-<math>n_k</math> היא למעשה פונקציה מקבוצת כל הטבעיים <math>N</math> לקבוצה הסופית <math> N_K= \left\{ 1,2,...,K-1 \right\}</math>, ולכן קיים <math>n_0 \in N_K</math> כך ש-<math>n_k=n_0</math> עבור אינסוף k-ים ומכאן <math>n_k</math> אינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]], ובוודאי שאינה [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית]] ממש.
| |||