שדה (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תקלדה |
הרחבה (עוד רגע תגיע הוספת מקורות) |
||
שורה 7:
שדות משמשים כרעיונות יסוד במספר תחומים מתמטיים. זה כולל ענפים שונים של [[אנליזה מתמטית]], המבוססים על שדות עם מבנה נוסף. משפטים בסיסיים באנליזה מצביעים על המאפיינים המבניים של שדה המספרים הממשיים. כל שדה עשוי לשמש [[סקלר (מתמטיקה)|כסקלרים]] עבור [[מרחב וקטורי]], שהוא ההקשר הכללי הסטנדרטי עבור [[אלגברה ליניארית]]. [[שדה מספרים|שדות מספרים]], אחיהם של שדה המספרים הרציונליים, נלמדים לעומק ב[[תורת המספרים]].
== היסטוריה ==▼
== הגדרה ==
שורה 209 ⟵ 206:
שדה פיצול זה הוא הרחבה של <math>\mathbb{F}_p</math> שבה לפולינום <math>f</math> יש <math>p^n</math> שורשים. שורשים אלו יוצרים שדה בפני עצמם כיוון שאם <math>\alpha, \beta</math> הם שורשים של פולינום זה, אז מתקיים <math>(\alpha \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} \beta^{p^n} = \alpha \beta</math> בבירור, וגם <math>(\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha + \beta</math> הנובע משימוש חוזר בשוויון <math>(\alpha + \beta)^p = \alpha^p + \beta^p</math>. שדה זה הוא בגודל <math>p^n</math>, והוא מסומן על ידי <math>\mathbb{F}_{p^n}</math>. זהו השדה היחיד עם <math>p^n</math> איברים, מכיוון שאם נתבונן ב[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הכפלית של שדה שכזה, נקבל מ[[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']] כי כל איברי השדה הם שורשים של הפולינום <math>x^{p^n} - x</math>.
▲== היסטוריה ==
היסטורית, שלוש דיסציפלינות אלגבריות הביאו לרעיון של שדה: השאלה של פתרון משוואות פולינומיאליות, [[תורת המספרים האלגברית]], ו[[גאומטריה אלגברית]]. צעד ראשון בכיוון של שדות נוצר לראשונה ב-1770 על ידי [[ז'וזף-לואי לגראנז']], שגילה שאם מסדרים מחדש שורשים של [[משוואה ממעלה שלישית]] <math>x_1, x_2, x_3</math> מקבלים בביטוי
<math>(x_1 + \omega x_2 + \omega^2 x_3)^3</math>
רק שני ערכים (כאשר <math>\omega</math> הוא [[שורש יחידה]] מסדר שלישי).
באופן הזה, לגראנז' מסביר את הקונספט של הפתרון הקלאסי למשוואות ממעלה שלישית של [[שיפיונה דל פרו]] ו[[פרנסואה וייט]], המתחילה בצמצום של משוואה ממעלה שלישית ב-<math>x</math> למשוואה במעלה שנייה ב-<math>x^3</math>. יחד עם הבחנה דומה על [[משוואה ממעלה רביעית|משוואות ממעלה רביעית]], לגראנז' חיבר בין מה שמאוחר נהיה הקונספט של שדה והסונספט של חבורה. [[אלכסנדר ונדרמונד|ונדרמונד]], גם ב-1770, וגם [[קרל פרידריך גאוס]] במידה מסוימת בספרו ''[[מחקרים אריתמטיים]]'' (1801), חקר את המשוואה
<math>x^p = 1</math>
עבור ראשוני <math>p</math>, ובכך קיבל את מה שידוע כיום בתור [[חבורת גלואה]] ציקלית. גאוס הסיק מכך שיש [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] עבור [[מצולע משוכלל]] עם <math>p</math> צלעות, כאשר <math>p = 2^{2^k} + 1</math>. בהסתמך על עבודתו של לגראנז', [[פאולו רופיני]] טען ב-1799 כי לא ניתן לפתור באופן אלגברי [[משוואה ממעלה חמישית]], אבל היו חורים בהוכחה שלו. חורים אלו מולאו על ידי [[נילס הנריק אבל]] ב-1824. [[אווריסט גלואה]] מצא ב-1832 טענים הכרחיים ומספיקים לכך שמשוואה ממעלה חמישית תהיה פתירה באופן אלגברי, ובכך התחיל את מה שידוע כיום בתור [[תורת גלואה]]. גם אבל וגם גלואה עבדו עם מה שמכונה היום [[שדה מספרים]], אבל לא הגו באופן מפורש את המושג של שדה, או את המושג של חבורה.
ב-1871 [[ריכרד דדקינד]] הציג את המילה הגרמית ''Körper'' עבור קבוצה של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה תחת [[ארבע פעולות החשבון]], שמשמעותה בגרמנית היא "גוף" או "קורפוס" (כדי לציין יישות שסגורה באופן אורגני). המונח האנגלי field, שתורגם ישירות לעברית כ"שדה", הוצג לראשונה על ידי מור.{{מקור}}
{{ציטוט|תוכן=במילה שדה, נתכוון למערכת אינסופית של מספרים ממשיים או מרוכבים שסגורה באופן מושלם, כך שחיבור, חיסור, כפל וחילוק של שני מספרים במערכת מביא למספר חדש במערכת.|מקור=ריכרד דדקינד, 1871{{מקור}}}}
ב-1881, [[לאופולד קרונקר]] הגדיר את מה שהוא כינה "תחום הרציונליים", שהוא שדה שברים במונחים של היום. ההגדרה של קרונקר לא כיסתה את [[שדה המספרים האלגבריים]] (שהוא שדה במובן של דדקינד), אבל מצד שני הייתה יותר אבסטרקטית מזו של דדקינד בכך שהיא לא עשתה אף הנחה ספציפית בנוגע לסוג האיברים שיכולים להופיע בשדה. קרונקר פירש שדה כמו <math>\mathbb{Q}(\pi)</math> באופן אבסטרקטי כמו השדה של פונקציות רציונליות <math>\mathbb{Q}(x)</math>. לפני כן, דוגמאות למספרים [[טרנסצנדנטיות|טרנסצנדנטליים]] היו ידועות מאז עבודתו של [[ז'וזף ליוביל]] ב-1884, עד ש[[שארל הרמיט]] (1873) ו[[פרדיננד לינדמן]] (1882) הוכיחו כי <math>e</math> ו-<math>\pi</math> טרנסצנדנטליים, בהתאמה.
ההגדרה הברורה הראשונה לשדה אבסטרקטי הייתה של היינריך וובר (1893). ספציפית, ההגדרה שלו כללה את השדה <math>\mathbb{F}_p</math>. [[ג'וזפה ורונזה]] (1891) חקר את השדה של טורי חזקות פורמליים, מה שהוביל את קרט הנזל (1904) להציג את [[שדה המספרים ה-p-אדיים]]. שטייניץ (1910) אסף וסידר את הידע על שדות אבסטרקטיים שנצבר עד כה. הוא חקר אקסיומתית את התכונות של שדות והגדיר הרבה מהרעיונות החשובם בתורת השדות. רוב המשפטים המוזכרים בפרקים של תורת גלואה, בניית שדות, ומושגים בסיסיים, נמצאים בעבודתו של שטייניץ. ארטין ושטייניץ (1927) חיברו את הרעיון של [[שדה סדור|סידור איברי שדה]], ובכך את התחום הרחב של אנליזה, לתכונות אלגבריות טהורות. [[אמיל ארטין]] פיתח מחדש את תורת גלואה בין 1928 ל-1942, ומחק את התלות של התורה ב[[משפט האיבר הפרימיטיבי]].
== בניית שדות ==
| |||