|
כלומר <math> 9a=9</math>{{ש}}
כלומר <math>a=1</math>.
מבחינה מתמטית אין עניין מיוחד בשוויון ...0.999999 = 1. הוא מסקנה מיידית מהמושג פיתוח עשרוני של מספר ממשי. אולם השווין מושך תשומת לב רבה בהוראת המתמטיקה כיוון שהוא מקרה מבחן להבנת המושגים: [[מספר ממשי]], [[טור (מתמטיקה)|טור]], [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]], [[גבול (מתמטיקה)|גבול]], [[פיתוח עשרוני]] [[אינסוף|אינסופי]] ועוד. אמונםאמנם משגיםמושגים אלה יסודיים מאוד במתמטיקה המודרנית, אך הם עמוקים וקשים להבנה. בהתאם, בבית הספר הם נלמדים באופן שיטחי בלבד, ולמידה מעמקהמעמיקה שלהם מתבצעת רק בבמסגרת לימודים אקדמיים במתמטיקה.
מסיבה זאת הנושא מושך עיליואיליו גם [[mathematical cranks]] רבים.
== פיתוח עשרוני ==
{{ערך מורחב|השיטה העשרונית}}
בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות.
*ראשית, מהי המשמעות של סכום אינסופי? מרגע שהוגדר הסכום של שני מספרים, אפשר להגדיר את הסכום של '''כל''' [[קבוצה סופית]] של מספרים ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]]; אולם, הגדרה זו אינה מעניקה מובן לסכום של [[קבוצה אינסופית]], ומושג זה דורש [[הגדרה]] חדשה. במהלך הטיפול במושג החדש מתברר עד מהרה שקל יותר לטפל בסכום של קבוצה שעיבריהשאיבריה ממספריםממוספרים ע"י מספרים טבעיים (...,1,2,3,...), במקום בסכום של קבוצה כללית. קבוצות כאלה נקראות [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]]. לסידרה שאותה מבקשים לסכם, קוראים במתמטיקה [[טור (מתמטיקה)|טור]]; בסוגיית הסיכום של טורים עוסק ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] (ראו גם [[גבול של סדרה]]). בכל הגדרה מקובלת לסכום של טור, יש טורים שקיים להם סכום (אלו נקראים "[[טור מתכנס|טורים מתכנסים]]"), וטורים שלא קיים להם סכום (אלו נקראים "[[טור מתבדר|טורים מתבדרים]]"). כל הטורים העשרוניים מתכנסים.
*כאן מתעוררת הבעיה השנייה - ''היכן'' מחשבים את הסכום? כל טור עשרוני מתכנס ל[[מספר ממשי]], אבל מספרים אלה בדרך-כלל אינם רציונליים. במילים אחרות, יש טורים עשרוניים שאינם מתכנסים למספר רציונלי. עובדה זו ניתן לבטא בשתי דרכים: מנקודת המבט של המספרים הרציונליים, לטור כזה אין סכום; ומנקודת המבט של המספרים הממשיים, יש לו סכום, שאינו רציונלי.
לכן כדי לתת משמעות לשבר עשרוני יש לקבועהלקבוע תחילה איזה סוג מספר הוא מתאר ובאיזה מושג של התכנסות משתמשים כדי לפרש אותו. בהקשרים מסוימים יש יותר ממשמעות אחת למושג ההיתכנסות. קביעת משמעות למושג ההתכנסות נעשת בדרך כלל על ידי קביעת [[טופולוגיה]]. מקובל לתאר באמצאותבאמצעות שברים עשרוניים אינסופיים מספרים ממשיים. על אוסף המספרים הממשיים יש טופולוגיה מקובלת אחת, לפי טופולוגיה זאת גבול של טור חיובי הוא המספר הקטן ביותר אשר גדול מכל הסכומים הסופיים של עבריאיברי הטור.
יש דרך קלה להבחין בין הטורים העשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. ב[[שבר מחזורי|שבר עשרוני '''מחזורי''']] יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסוים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר ב[[שלוש נקודות]], כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל <math>\ 0.59\overline{09} = 0.5\overline{90} = 0.59090...</math> מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, חוזרות הספרות 90 ללא גבול. באופן דומה, בפיתוח העשרוני ...0.333, שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום. מספר זה שונה, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.
יש מספר דרכים שקולות להגדיר את המושג של [[מספר ממשי]].
===מספרים ממשיים בתור מחלקות שקילות של כיתובים עשרוניים===
אחת הדרכים האלמנטריות לעשות זאת היא להגדיר מספר ממשי בתור כיתוב עשרוני (זאת אמרתאומרת בטוי מהצורה <math>a_1\cdots a_n.b_1\cdots b_k\cdots</math> כאשר <math>a_i</math> ו-<math>b_i</math> הם ספרות) [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[יחס שקילות|יחס השקילות]] הבא:
<math display="block">a_1\cdots a_n.b_1\cdots (b_k+1) 00 \cdots 0\cdots</math>
שקול ל
<math display="block">a_1\cdots a_k9\cdots 9.9\cdots 9\cdots </math>
בגישה זאת השוויון <math>1=0.999\cdots</math> נובע ישירות מההגדרה מכיוון שעל-פי יחס השקילות שהוגדר מעלה שני יצוגים אלה שקולים. היתרון של הגדה זאת שאהישהיא מפורשת ואלמנטרית והחיסרונותוהחסרונות שלה שלא ברור למה מושג זה מתאים לאינטואיציה שלנו לגבי מספרים ממשיים וקשה להגדיר את פעולות החשבון הבסיסיות בעמצאותבאמצעות הגדרה זאת.
===גישה אקסיאומטיתאקסיומטית למספרים ממשיים===
במקום לתת בניהבנייה מפורשת של אוסף המספרים הממשיים, ניתן לתת רשימת פעולות שאנו רוצים לבצעהלבצע על מספרים ממשיים ודרישות שפעולות אלה צריכיםצריכות לקיים. לדרישות אלואלה קוראים [[אקסיומה|אקסיומות]]. יש מספר מערכות אקסיאומתשל אקסיומות המתארות את המספרים הממשיים ביחידות עד כדי איזומורפיזם. זאת אמרת, שאונםשלא יכוליםיכולות להיות 2שתי דוגמאות שונות לקבוצות עם פעולות שיקמושיקיימו את מערכת האקסאומותהאקסיומות. אלה אם דוגמאות אלה יהיו שקולות במובן שתהיה [[פונקציה חח"ע ועל|העתקה חח"ע ועל]] בין הקבוצות שמרת{{דרושה הבהרה|סיבה=ששומרות? שמקיימות?}} על הפעולות.
אחת ממערכות [[אקסיומה|האקסאומות]]האקסיומות המגדירות את המספרים הממשיים היא האקסיאומותמערכת האקסיומות של [[שדה סדור שלם]]. ב[[שדהבשדה סדור שלם]] ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של סידרהסדרה עולה שווה ל[[סופרמום]] שלה. זאת אומרת למספר הקטן ביותר שגדול או שווה לכל עבריאיברי הסידרה. על פי גישה זאת, על מנת להוכיח את השוויון <math>0.999\cdots=1</math> יש להסיק אותו מהאקסאומותמהאקסיומות. להלן דוגמה להוכחה כזאת:
#נסמן <math>a_n=0.9\cdots9</math> כאשר הספרה 9 חוזרת על עצמה <math>n</math> פעמים.
# תחילה מוכיחים ב[[אינדוקציה]] ש <math>a_n=1-\frac{1}{10^n}</math>
# לכן ה[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] <math>a_n</math> [[סדרה עולה|עולה]] ו[[סדרה חסומה|חסומה]] מלעלמלעיל.
# לכן, לפי אקסאומתאקסיומת השלמות, לסידרה יש גבול
# לפי ההגדרה גבול זה הוא הערך של השבר העשרוני <math>0.999\cdots</math>.
# כעת קל להסיק ש <math>0.999\cdots=1</math> כפי שהוסבר מעלה.
היתרון הגדול של הגישה האקסיאומתיתהאקסיומתית היא האוניברסליות שלה. כל בניהבנייה של המספרים הממשיים תקיים את האקסיאומותהאקסיומות וכל קבוצה עם פעולות שמקימתשמקיימת את האקסיאומותהאקסיומות יכולה להקראותלהיקרא קבוצת המספרים הממשיים. כמו כן האקסיאומותהאקסיומות עצמן אינטואיטיביות למדי, ומתישבות עם הנסיון היום יומי שלושלנו עם מושג המספרים הממשיים. מה שלא ברור אינטואיטיבית הוא שהאקסיאומותשהאקסיומות
מספיקות כדי לתאר את המספרים הממשיים, ושכל עובדה שנכונה עבור המספרים הממשיים תהיה נכונה עבור כל קבוצה המקיימת את האקסאומותהאקסיומות. טענה זאת נובעת מהיחידות (עד כדי איזומורפיזם) של קבוצת המספרים הממשיים. יחידות זאת כלקל יחסית להוכיח פורמלית (בהסתמך על האקסיאומתהאקסיומות של [[תורת הקבוצות]]).
החיסרון של הגישה האקסיאומתיתהאקסיומתית היאהוא שהגישה לא מספקת בניהבנייה מפורשת לקבוצת המספרים הממשיים. היא לא נותנת באופן ישיר את התשובה לשאלה "מהוא מספר ממשי?". כמו כן היא לא מוכיחה שקימת קבוצה המקימתהמקיימת את כל האקסיאומותהאקסיומות. לכן כדאי להשלים גישה זאת על ידי בניהבנייה מפורשת של המספרים הממשיים והוכחה שהאקסיאומתשהאקסיומת מתקימותמתקיימות עבור בניהבנייה זאת. בניהבנייה מפורשת כזאת תספק גם הוכחה שמערכת האקסיאומותהאקסיומות של המספרים הממשיים היא עיקבית, בהנתן העיקביות של תורת הקבוצות.
ניתן להוכיח שהבניהשהבנייה שמופיעה מעלה מקימתמקיימת את האקסיאומותהאקסיומות, אולם הוכחהההוכחה מסורבלת, לכן בדרך כלל מעדיפים בניות אחרות.
===בניות נוספות של המספרים ממשיים===
שתי הבניות הפופולריות ל[[שדה המספרים הממשיים]] הן [[חתכי דדקינד]] ו[[מחלקת שקילות|מחלקות שקילות]] של [[סדרות קושי]]. שתי הבניות מתבססות על אותו רעיון כללי:
# תחילה מניחים שהמושג "מספר הממשיממשי" כבר קיים.
# לאחר מכן מצאיםמוצאים דרך לתאר ביחידות מספר ממשי <math>x</math> ע"יעל ידי מספרים רציונליים. בליםבמילים אחרות למצוא לו מעין תעודת זהות המורכבת ממספרים רציונליים. במקרה של חתחיחתכי דדקינד, "תעודת הזהות" היא קבוצת המספרים הרציונליים הקטנים מ - <math>x</math>. במקרה של סדרות קושי "תעודת הזהות" היא קבוצת הסדור{{דרושה הבהרה|סיבה=אולי זו הבורות שלי אבל הכוונה ל"קבוצת הסדרות"?}} של מספרים הרציונליים [[גבול של סדרה|המתכנסות]] ל - <math>x</math>.
# לבסוף מאפינם מה יכול להוות תעודת זהות של מספר ממשי (לפי הגישה שניבחרה) ואז מגדירים מספר ממשי להיות "תעודת הזהות" שלו.
רעיון זה עלול להראות קונטרא-אינטויטיבי כי נדמה שמה שאנחנו מגדירים זה לא המספר עצמו אלה משהוא שמיצג אותו. למעשה רעיון זה שימושי מאוד בכל המתמטיקה, מיכיווןכיוון שבמתמטיקה בדרך כלל אין משמעות למהות האוביקטיםהאובייקטים עצמם אלה רק לאוסף האוביקטיםהאובייקטים הרלבנטיים והאינטרקציותוהאינטראקציות בניהםביניהם. כך אפשר לראות, הן חתך דדקינד והן במחלקת שקילות של סדרות קושי בתור שמות שונים לאותו מספר ממשי.
כדי להוכיח את השווין <math>0.999...=1</math> (או כל טענה אחרת) בבניהבבנייה מפורשת מסוימת , די להוכיח שהאקסאומתשהאקסיומות של המספרים הממשיים מתקיימיםמתקיימות בבניהבבנייה זאת. העובדה שהשווין נובעהנובע מהאקסיאומותמהאקסיומות הסברההוסברה לעליל. ניתן גם להסיק שיויוןשוויון זה ישירות מכל אחת מהבניתמהבניות האלה.
== קשיים שמעלה הביטוי ...0.999 בהוראת המתמטיקה==
| 