מספר אי-רציונלי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הוספתי כמה אפשריות בהינתן מספר אי רציונלי אחד להגיע למספרים אי רציונלים נוספים |
|||
שורה 25:
כל [[מספר טרנסצנדנטי]] (מספר שאינו [[מספר אלגברי|אלגברי]]) הוא אי-רציונלי. ההפך אינו בהכרח נכון. למשל <math>\sqrt{2}</math> ויחס הזהב הם מספרים אלגבריים אי-רציונליים.
לכל מספר אי רציונלי a ה[[מספר הופכי]] לו <math>1/a</math> הוא גם אי רציונלי. ההוכחה: בהינתן a מספר אי רציונלי נניח בשלילה ש <math>1/a</math> הוא רציונלי אזי קיימים q,p המקיימים <math>1/a=q/p</math> כשq מספר שלם וp מספר שלם חיובי אבל אז מתקיים: <math>1/a=q/p\Longrightarrow 1=(qa)/p\Longrightarrow p=qa \Longrightarrow a=p/q</math> וזה בסתירה לכך שa הוא אי רציונלי.
לכל מספר אי רציונלי a לכל n טבעי<math>a^{1/n}</math> אי רציונלי. הוכחה: בהינתן a אי רציונלי נניח בשלילה ש <math>a^{1/n}</math> הוא רציונלי אבל אז לפי חוקי חזקות מתקיים:<math>{a^{1/n}}^n=a^{1/n}a^{1/n}...a^{1/n}=a^{n/n}=a</math> ומסגירות הרציונלים לכפל נקבל ש a הוא גם רציונלי.
אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי [[כמעט כל]] המספרים הם אי-רציונליים. זאת משום ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמת]] המספרים הרציונליים היא <math>\aleph_0</math> בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא <math>\!\, \aleph</math> (ראו [[האלכסון של קנטור]]).
| |||