|
|
|
== תופעת היצוג כפול ע"י שבר עשרוני במתמטיקה==
===אוסף הביטויים העשרוניים===
אם נסמן ב <math>Dec</math> את אוסף כל הביטויים מהצורה <math>a_1\cdots a_n.b_1\cdots b_k\cdots</math> אז ניתן להתיחסלהתייחס ליצוגל[[השיטה העשרונית|ייצוג עשרוני]] של מספר בתור [[פונקציה|העתקה]] <math>d:Dec\to \R</math>. העובדה של[[מספרים ממשיים]] מסוימים יש יותר מ[[יצוגמייצוג עשרוני]] אחד אומרת שההעתקה הזאת איננה [[פונקציה חד-חד ערכית|חד-חד ערכית]]. העובדה שלכל מספר ממשי יש יצוגייצוג עשרוני אומרת שהעתקה זאת היא [[פונקציה על|על]]. לא ניתן להגדיר מבנה של [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] על <math>Dec</math> שיתאים למבנה השדה על <math>\R</math>. אולם ניתן להגדיר [[טופולוגיה (טופולוגיה)|טופולוגיה]] על <math>Dec</math> שתתאים לטופולגיה על <math>\R</math>. זאת אומרת להגדיר על <math>Dec</math> טופולוגיה כך ש <math>d</math> תהיה [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] ו[[פונקציה פתוחה]]. במילים אחרות הטופולוגיה על <math>\R</math> תתקבל כ[[טופולוגית מנה]] של <math>Dec</math>. כך שכל מה "שחסר" כדי ש <math>d</math> תהיה [[הומיאמורפיזם]] זה ש <math>d</math> תהיה חד-חד ערכית. מאידך הטופולגיות על <math>Dec</math> ועל <math>\R</math> מאוד שונות. בעוד ש <math>\R</math> [[מרחב קשיר]] <math>Dec</math> [[מרחב לא קשיר לחלוטין|אינו קשיר לחלוטין]].
אם מתמקדים בקטע הסגור <math>[0,1] \subset \R</math> אז העתקה <math>d</math> הופכת להיות <math>\{0.\dots,9\}^\omega\to [0,1]</math> כאשר הטופולוגיה על <math>\{0.\dots,9\}^\omega</math> היא [[טופולוגית המכפלה]]. המרחב <math>\{0.\dots,9\}^\omega</math> הומיאומרפי ל[[קבוצת קנטור]].
|
