0.999... – הבדלי גרסאות

לתופעת היצוג הכפול ע"י שבר עשרוני יש השפעה (מינורית) על הוחכתהוכחת העובדה שעוצמת שדה המספרים הממשיים היא <math>2^{\alef_0}</math>. ההוחכהההוכחה הסטנדרטית של עובדה זאת מתבססת על ההעתקה <math>d</math> שהוגדרה מעלה. כלקל לראות ש <math>Dec</math> היא מעוצמה <math>2^{\alef_0}</math> (למעשה זה פשוט עוד יותר כשעובדים בבסיס 2) אך מיכיוןמכיוון ש- <math>d</math> איננה חד-חד ערכית זה לא אומר באופן מידימיידי שזו גם עוצמת שדה הממשיים. כלקל להסיק זאת בעמצאותבאמצעות [[משפט קנטור-ברנשטיין]] אך למעשה גם לא קשה להוכיח זאת ישירות במקרה זה.

אם מסתכלים רק על שברים עשרוניים שאינם מכילים את הסיפרה 9 אז תופעת היצוג הכפול נעלמת, אולם מספרים רבים לא ניתנים ליצוגלייצוג על ידי שבר עשרוני שאינו מכיל את הסיפרה 9. קבוצת המספרים בקטע <math>[0,1]</math> שניתנים ליצוג כזה מהווה גירסה של קבוצת קנטור, והעתקת היצוגהייצוג העשרוני (ההעתקה <math>d</math> שתוארה מעלה) מגדירה הומיאומורפיזם מ <math>\{0,\dots 8\}^\omega</math> לקבוצה זאת.

דבר דומה קרהקורה בכל בסיס ספירה גדול מ-2. עבור בסיס 2 מקבלים רק את 0.

[[שדה המספרים ה-p-אדיים|המספרים ה-p-אדיים]] מהווים [[מערכת מספרים]] מקבילה [[שדה המספרים הממשיים|למספרים הממשיים]]. המספרים ה-p-אדיים שונים מאוד בתחונתיהםבתכונתיהם מהמספרים הממשיים אך באספקטים מסוימים הם אנלוגיים למספרים הממשיים. מספרים p-אדיים ניתן לכתוב כשברים על פי בסיס ספירה ראשוני p. גם שברים אלה אינסופיים אבל באופן שונה: יש להם מספר סופי של ספרות לאחר הנקודה ומספר אינסופי של ספרות לפניה. הסיבה לכך שהמספר p קטן מ-1 בתור מספר p-אדי. הבדל זה גורם לכך שהמספרים ה-p-אדיים מתנהגים מאוד שונה מהמספרים הממשיים הן מבחינה אריטמתיתאריתמטית והן מבחינה טופולוגית. תופעת היצוג הכפול לא קיימת בספרים ה-p-אדיים: לכל מספר p-אדי יצוג יחיד ע"י שבר בבסיס ספירה p. זה למעשה ההבדל הטופולוגי בין המספרים ה-p-אדיים לממשיים. הדבר גורם לכך ששדה המספרים ה-p-אדיים דומה בטופולוגיה שלו לקבוצת קנטור. בפרט [[כדור יחידה|כדור היחידה]] ב-p-אדיים (תת קבוצה של מספרים p-אדיים המקבילה לקתעהלקטע [0,1] בממשיים) הומיאומורפי לקבוצת קנטור.