סכום גאוס ריבועי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: \1ליניארי |
|||
שורה 8:
כלומר זהו סכום של חזקות של <math> \zeta </math> עם מעריכים המהווים כפולות של [[ריבוע]]ים שלמים{{הערה|המקרה של
<math>\sum_{n=0}^{p-1}e^\frac{2\pi ian}{p}=\sum_{n=0}^{p-1}\zeta_p^{an} </math> הוא טריוויאלי; הסכום שווה לאפס בדיוק כאשר ''a'' לא מתחלק ב-''p''.}}.
אם ''p'' אינו מחלק את ''a'', אז
: <math>
כאשר המעבר נובע מכך שעל פי הגדרה, סכום גאוס עובר רק על חזקות של <math>\zeta</math> עם מעריכים המהווים [[שארית ריבועית|שאריות ריבועיות]] מודולו ''p'', ועובר דרך כל שארית ריבועית בדיוק פעמיים; כלומר הוא עובר פעמיים דרך כל שארית ריבועית ואפס פעמים דרך שאריות שאינן ריבועיות. לפיכך, הביטוי החלופי מורכב מאותם האיברים של סכום גאוס המקורי, בשינוי סדר. בנוסף, על פי הנוסחה לסיכום [[טור גאומטרי]] מתקיים
:<math>\sum_{n=0}^{p-1}\zeta_p^n = 0</math>
ומשילוב שתי הזהויות האחרונות נובע שסכום גאוס מקבל את הצורה:
: <math>G(a,\chi)=\sum_{n=0}^{p-1}\chi(n)e^\frac{2\pi ian}{p} </math>
כאן ''χ'' = <math>\left(\frac{n}{p}\right)</math> הוא [[סימן לז'נדר]], המקבל את הערך 1+ אם ''n'' הוא [[שארית ריבועית]] מודולו ''p'' ו-1- אם ''n'' אינו שארית ריבועית מודולו ''p''.
| |||