אינסוף – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 12:
===האינסוף כגודל מוחשי===
[[קובץ:999_Perspective.svg|ממוזער|400px|[[השיטה העשרונית|הפיתוח העשרוני]] האינסופי של {{משמאל לימין|[[0.999...]]}} השווה גם ל-1]]{{ערך מורחב|עוצמה (מתמטיקה)}}
העיסוק באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי ב[[הפרדוקס של גלילאו|פרדוקס של גלילאו]], המדגים של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] שמספר איבריהן אינו סופי ([[קבוצה אינסופית|קבוצות אינסופיות]]). [[גלילאו]] הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של ה[[מספר ריבועי|מספרים הריבועיים]], אף שתוצאה זו סותרת לכאורה את העובדה הברורה, שיש מספרים טבעיים שאינם ריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות אינסופיות ניתנת בסיפור [[המלון של הילברט]]. טיפול פורמלי בקבוצות אינסופיות נוצר על ידי [[גאורג קנטור]] בסוף [[המאה ה-19]], במסגרת פיתוחה של [[תורת הקבוצות]]. מונח ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] נוצר במסגרת זו כדי לבטא את גודלה של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שמספר איבריה אינו סופי, כגון [[קבוצת המספרים הטבעיים]] או קבוצת ה[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]]. במסגרת זו, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הריבועיים יש אותה עוצמה, אף על פי שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה. [[ריכרד דדקינד]] [[אינסופיות לפי דדקינד|הגדיר קבוצה אינסופית]] ככזו שהיא שוות עוצמה לקבוצה המוכלת בה ממש.
| |||