תת-סדרה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←גבול של תת-סדרה: עריכה, הרחבה |
|||
שורה 11:
<math>l\,</math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> אם קיימת תת-סדרה של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> המתכנסת ל-<math>l\,</math>. הגבולות החלקיים של סדרה נקראים '''[[נקודת הצטברות|נקודות הצטברות]]''' שלה. קבוצת נקודות ההצטברות היא [[קבוצה סגורה]].
לפי משפט "אפיון גבולות חלקיים", <math>l\,</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> אםם לכל <math>\epsilon > 0</math> קיימים אינסוף n-ים עבורם <math>\mid a_n-l \mid < \epsilon</math>. משפט זה מאפשר להוכיח או לשלול ש-<math>l\,</math> הוא גבול חלקי ללא צורך בבניה של תת-סדרה מתאימה.בכיוון אחד, אם <math>l\,</math> הוא גבול חלקי של <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math>, אז קיימת תת-סדרה <math>\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty</math> שתמכנסת ל-<math>l\,</math>.
סדרה [[גבול של סדרה|מתכנסת]] (במובן הרחב) [[אם ורק אם]] כל הגבולות החלקיים שלה שווים. כך למשל הסדרה <math>\ a_n=3+\frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנסת ל-3, ולכן כל תת-סדרה שלה, למשל <math>\ b_n=a_{n^2} = 3+\frac{1}{n}</math>, מתכנסת לאותו מספר. הסדרה <math>\ c_n=4+(-1)^n+\frac{1}{n}</math> מתבדרת, אולם תת-הסדרה שלה
| |||