תת-סדרה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
←גבול עליון וגבול תחתון: עריכה, הרחבה |
|||
שורה 20:
נעסוק בהגדרה של גבול עליון, וגבול תחתון מוגדר ומסומן באופן דומה.
גבול עליון של סדרה חסומה מלעיל של מספרים ממשיים <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> מוגדר [[חסם (מתמטיקה)|כחסם העליון]] של קבוצת הגבולות החלקיים שלה, ומסומן ב- <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} a_n</math> או <math>\overline{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n</math>. למעשה, ניתן להוכיח שהגבול העליון הוא בעצמו גבול חלקי ולכן הוא הגבול החלקי המקסימלי של הסדרה. באופן אנלוגי, גבול תחתון של סדרה חסומה מלרע מסומן ב-<math>\liminf_{n\rightarrow\infty} a_n</math> או <math>\underline{\lim}_{n\rightarrow\infty} a_n</math>, והוא הגבול החלקי המינימלי שלה. עבור סדרות שאינן חסומות מלעיל או מלרע מקובל לסמן את הגבול העליון ב-<math>+\infin</math> או <math>-\infin</math> בהתאמה.
באופן פורמלי: תהי <math>\ (a_n)</math> סדרה. נגדיר סדרה חדשה <math>\ (b_m)</math> באופן הבא - <math>b_m=\sup\{a_m,a_{m+1},a_{m+2},...\}</math>. הסדרה <math>\ (b_m)</math> יורדת, ולכן מתכנסת לגבול, שהוא הגבול העליון של <math>\ (a_n)</math>.▼
▲גבול עליון זהה לגבול של סדרת החסמים העליונים של זנבות הסדרה. באופן פורמלי: תהי <math>\ (a_n)</math> סדרה. נגדיר סדרה חדשה <math>\ (b_m)</math> באופן הבא - <math>b_m=\sup\{a_m,a_{m+1},a_{m+2},...\}</math>. הסדרה <math>\ (b_m)</math> יורדת, ולכן מתכנסת לגבול, שהוא הגבול העליון של <math>\ (a_n)</math>.
== ראו גם ==
| |||