פתרון משוואת שרדינגר בעבור פוטנציאל מדרגה – הבדלי גרסאות

אין תקציר עריכה
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד אנונימי - קטגוריות
 
== העברה והחזרה ==
כדי למצוא את המשרעת המוחזרת והמשרעת המועברת בעבור גל הפוגע במדרגה משמאל, נציב במשוואות לעיל ''AB''<sub></sub> = 10 (אין חלקיק פוגע),הפוגע במדרגה ''A''<sub>←</sub> = ''R'' (החזרהמימין), ולאחר ''B''<sub>←</sub>מכן =נביע 0את (איןהמשרעת חלקיקהמועברת הפוגעוהמשרעת במדרגההמוחזרת מימין)לפי ו-''B''<submath>A_\rightarrow</submath>. =נשים לב ''Tk''<sub>1</sub>/''k''<sub>2</sub>שמכיוון (העברה{{הערה|מקדםשההנחה ההעברהשלנו מוגדרהיא כיחסשהחלקיק ביןהוא [[זרםבעל הסתברות|זרםתנע ההסתברות]]מוגדר, המועבראז לזרםהוא ההסתברותמרוח הפוגע.במידה אףשווה עללאורך פיכל כן,הציר הגדליםהממשי המופיעים(זהו בבעייתמצב מדרגתבלתי הפוטנציאלניתן נקראיםלנרמול) משרעותולכן פיזור.אין הםמשמעות קשוריםלגדלים למקדמיהמוחלטים ההעברהשל וההחזרההמשרעת באמצעותהמועברת הכפלהוהמוחזרת, שלאלא ריבוערק המשרעותליחס המפוזרותביניהן במהירותלמשרעת התקדמותהגל החלקיק המקומית.}})הפוגע. לאחר פתרון בעבורצמד ''T''המשוואות ו-''R'',הלינאריות התוצאה היאנותן:
 
:<math>\frac{A_\leftarrow}{A_\rightarrow} = \frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}</math>
:<math>\frac{B_\rightarrow}{A_\rightarrow} = \frac{2k_1}{k_1+k_2} </math>
 
מפתה להניח שההסתברות להימצאות החלקיק מן העבר הימני של מדרגת הפוטנציאל יחסית ל-<math>(\frac{B_\rightarrow}{A_\rightarrow})^2</math> (זאת על פי [[פונקציית גל|פרשנות בורן]] ההסתברותית לפונקציית הגל), אולם הנחה זאת מוטעית מיסודה (מה גם שהיא מניבה הסתברות גדולה מ-1); שורש הטעות נעוץ בהנחה המתמטית שאינה תואמת את התמונה הפיזיקלית לפיה לחלקיק יש תנע מוגדר והוא אינו ממוקם במרחב. ישנן שתי דרכים קונספטואליות שקולות לתקן את הטעות{{הערה|מאמר: How and why to think about scattering in terms of wave packets
instead of plane waves}}: האחת מתייחסת למצב עצמי של תנע החלקיק (מספר גל יחיד) אך עושה שימוש בשימור [[זרם הסתברות|זרם ההסתברות]], ואילו השנייה עושה שימוש ישיר בפרשנות בורן הסטנדרטית אך מתייחסת ל[[חבילת גלים|חבילות גלים]] רחבות מאוד המייצגות חלקיק חופשי ממוקם. ההנחה שחבילת הגלים רחבה מאוד גוררת שבהצגת התנע, לחלקיק יש טווח מספרי גל צר <math>\Delta k</math> מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שהוא מיוצג על ידי מספר גל יחיד (שכן כפי שניווכח בהמשך, מקדמי ההעברה וההחזרה תלויים במספר הגל הפוגע).
 
=== דרך א' ===
זרם ההסתברות בכיוון פיזור מסוים מוגדר כמכפלת צפיפות ההסתברות (ריבוע המשרעת המפוזרת) במהירות התקדמות החלקיק המקומית. על פי העקרון של שימור זרם ההסתברות, זרם ההסתברות של הגל הפוגע שווה לזרם ההסתברות המועבר ועוד זרם ההסתברות המוחזר. מכיוון שהגל הפוגע והגל המוחזר מתקדמים באותה מהירות, ואילו יחס המהירויות של הגל המועבר והגל הפוגע הוא <math>\frac{k_2}{k_1}</math>, נציב במשוואות לעיל ''A''<sub>→</sub> = 1 (חלקיק פוגע), <math>A_\leftarrow = \sqrt{R}</math> (החזרה), ו-''B''<sub>→</sub> = ''Tk''<sub>1</sub>/''k''<sub>2</sub> (העברה). לאחר פתרון בעבור ''T'' ו-''R'', התוצאה היא:
 
:<math>\sqrt{T}=\frac{2\sqrt{k_1 k_2}}{k_1+k_2}</math>
 
ניתן לפרש גם את <math>\sqrt{T}</math> כ[[ממוצע גיאומטרי|ממוצע הגיאומטרי]] של מספרי הגל, חלקי [[ממוצע חשבוני|הממוצע החשבוני]] שלהם. ניתן לראות שהתוצאות עבור ''R,T'' סימטריות ביחס להחלפה של מספרי הגל.
 
=== דרך ב' ===
נניח חבילת גלים רחבה מאוד בעלת רוחב <math>d</math>. כתוצאה מהרוחב הסופי של האלומה, מהירות ההתקדמות האיטית יותר של חבילת הגלים המועברת לצד הגבוה של מדרגת הפוטנציאל גורמת לה להיות צרה יותר, ועל פי פרשנות בורן הסיכוי של החלקיק להימצא מן העבר הגבוה של מדרגת הפוטנציאל (מקדם ההעברה ''T'') שווה לאינטגרל על ריבוע משרעת פונקציית הגל בתחום שבו חבילת הגלים המועברת אינה מתאפסת, שרוחבו הוא למעשה <math>d\frac{k_2}{k_1}</math>. כיוון שהחבילה הפוגעת רחבה מאוד, ניתן לאפיין אותה בקירוב על ידי מספר גל יחיד <math>k_1</math>, ולכן היחס בין משרעת הגל המועבר למשרעת הגל הפוגע מקבל ערך יחיד <math>\frac{B_\rightarrow}{A_\rightarrow} = \frac{2k_2}{k_1+k_2} </math>. לפיכך, האינטגרל על צפיפות ההסתברות של חבילת הגלים המועברת שווה ליחס בין המשרעת המועברת למשרעת הפוגעת בריבוע, כפול יחס ההיצרות של החבילה, שהוא כאמור לעיל <math>\frac{k_2}{k_1}</math>.
 
== ניתוח התוצאות ==