שדה המספרים המרוכבים – הבדלי גרסאות

אפשר להתאים את המספר המרוכב <math>\ x+yi</math> לקואורדינטה הקרטזית <math>\ (x,y)</math> במישור <math>\ \mathbb{R}^2</math>. את המישור אפשר לתאר גם באמצעות [[קואורדינטות פולריות]], הכוללות, עבור כל נקודה, את ה[[מרחק]] שלה מראשית הצירים ואת ה[[זווית]] בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-<math>\ x</math>. הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ [[משפט פיתגורס]]), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית ה[[טנגנס]]: <math>\tan(\theta) = \frac{y}{x}</math> עבורבעבור מספרים מרוכבים שנמצאים ברביע הראשון או הרביעי (כלומר <math>\ \mathrm{Re}(z) > 0</math>), ואילו עבורבעבור מספרים שנמצאים ברביע השני או השלישי (<math>\ \mathrm{Re}(z) < 0</math>) הזווית תהיההיא <math>\pi - \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> (שכן לפונקצייתפונקציית tan ישמחזורית עם מחזור של <math>\pi</math>).

עבור מספריםלמספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה חיובי, הארגומנטהזוית יהיה(ארגומנט) היא <math>\frac{\pi:}{2}</math> ועבור(זוית ישרה חיובית), מספריםולמספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה שלילי, הארגומנטהזוית יהיההיא <math>-(\frac{\pi:}{2)}</math>.

עבורבעבור המספר המרוכב 0, הזווית אינה מוגדרת (או לחלופין כל זווית היא לגיטימית).

לזוויתהזווית נקראשל מספר מרוכב נקראת '''ארגומנט''' של המספר המרוכב. נשים לב שאין למספר מרוכב רק ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת כךשגדולה שהפרשן(או שלקטנה) שתיממנה הזוויותבכפולה הואשלמה של <math>\ 2\pi</math> - גם היא ארגומנט. לכן נהוג לרוב, כאשר מדברים על '''ה'''ארגומנט של מספר מרוכב, נהוג לבחור את הזווית ששייכת לקטע <math>\ (-\pi,\pi)</math> (ויש אחת כזאת, ורק אחת).

על כן, '''ההצגה הפולרית''' (הקוטבית) של מספר מרוכב z, היא: <math>\ z=r\cos\theta + i r\sin\theta</math>, כאשר r הוא המרחק מהראשית, ו-<math>\ \theta</math> הזווית ש-z יוצר עם ציר ה-x.

בדרך-כלללפעמים משתמשים בקיצור <math>\ \operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta</math>. קיצור מקובל נוסף הוא

שנובע מתכונות פונקציית ה[[אקספוננט]] עבורבעבור ערכים מרוכבים.