משוואה דיפרנציאלית ליניארית – הבדלי גרסאות

מ
בוט החלפות: שוויון;
מאין תקציר עריכה
מ (בוט החלפות: שוויון;)
אפשר להציג את y במפורש כוקטור שרכיביו הן פונקציות ממשיות גזירות, ולקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות עם n פונקציות נעלמות- <math>\ y_1 , . . . y_n</math>. בהמשך החלק נוותר על סימון החץ מעל הפונקציה y, כאשר ההקשר יהיה ברור.
===שיטות כלליות===
כמו בפתרון הבעיות הרגילות, גם בממדים גבוהים אוסף כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית לינארית הוא מרחב וקטורי, ומממדו הוא ממד הווקטור y. כדי לייצג את מרחב הפתרונות באופן קומפקטי משתמשים במטריצה של פונקציות <math>\ \Phi (x)</math>, שהיא [[מטריצה הפיכה|הפיכה]] לכל t בתחום הפתרון של המשוואה, ומקיימת את השיוויוןהשוויון <math>\ \Phi '(x) = A(x) \Phi (x)</math>. מטריצה זו נקראת המטריצה היסודית של המשוואה, או המטריצה הפונדמנטלית. באמצעות מטריצה זו ניתן להציג כל פתרון של המשוואה ההומוגנית, <math>\ y' = Ay</math>, כיוון שכל פתרון כזה מתקבל על ידי כפל של וקטור קבוע במטריצה היסודית. פתרונות של המשוואה הלא הומוגנית <math>\ y' = Ay + b</math> מתקבלים על ידי כפל של המטריצה היסודית בוקטור של פונקציות גזירות שמקיים את המשוואה <math>\ \Phi (x) c'(x) = b(x)</math>.
 
נפתור קודם כל את המקרה הפשוט ביותר: <math>\ y' = ay , \ \ y(0)=b </math> כאשר y פונקציה רגילה מהממשיים לעצמם. נשתמש ב[[האיטרצות של פיקאר|איטרציות של פיקאר]] כדי לפתור את המשוואה הזו:
271,876

עריכות