תחום יסודי – הבדלי גרסאות

== הגדרה פורמלית ==

בהינתן חבורה ''G'' הפועלת על מרחב טופולוגי ''X'', תחום יסודי עבור הפעולה הזאת הוא קבוצה ''D'' של נציג אחד מכל מסלול. באופן פורמלי, תחום יסודי ''D'' של מרחב ''X'' ביחס לפעולת חבורה ''G'' מקיים את התכונות הבאות:

* לכל ''g'', ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של ''D'' ו-''gD'' הוא [[קבוצה ריקה|ריק]], כאשר ''g'' איבר בחבורה ''G''.

 

על תכונות אלו נוספת דרישה להתנהגות טופולוגית "יפה" של התחום היסודי. למשל, בהינתן חבורת ההזזות המקושרת ל[[סריג (גאומטריה)|סריג]] במרחב אוקלידי ''n'' ממדי (חבורה שמספר ה[[קבוצת יוצרים (תורת החבורות)|יוצרים]] שלה הוא כממד המרחב), טבעי לבחור את התחום היסודי להיות המקבילון היסודי של הסריג. אולם, יכולנו גם לבחור את התחום היסודי להיות מורכב מחצי ממקבילון יסודי אחד, ומהחצי המשלים שלו ממקבילון יסודי אחר - כך מתקבל תחום יסודי שאינו קבוצה קשירה, אך העונה לשתי הדרישות הראשונות. לכן, בבחירת תחום יסודי בדרך כלל נדרש ממנו להיות קבוצה קשירה.

== דוגמאות ==

דוגמאות במרחב האוקלידי התלת-ממדי '''R'''³ כוללות את:

* בעבור פעולת [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] ביחס למישור: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות משני צידי המישור, או נקודה יחידה על המישור; התחום היסודי יכול להיבחר להיות כל אחד מחצאי-המרחב ביניהם חוצץ המישור.

* בעבור שיקוף ביחס לנקודה: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות או נקודה יחידה (במידה ונבחרה הנקודה ביחס אליה מתבצע השיקוף); התחום היסודי יכול להיבחר להיות אחד מחצאי המרחב שיוצר כל מישור העובר דרך הנקודה.

 

== תחום יסודי עבור החבורה המודולרית ==

התרשים משמאל מציג (באפור) את התחום היסודי תחת פעולת [[חבורה מודולרית|החבורה המודולרית]] Γ על חצי המישור העליון ''H''.

 

תרשים מפורסם זה מופיע בכל הספרים הקלאסיים על [[תבנית מודולרית|פונקציות מודולריות]]. הוא היה ידוע ל[[קרל פרידריך גאוס]], אשר עסק בתחומים יסודיים במסגרת מחקריו על תורת הרדוקציה של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]]. כאן, התחום היסודי ''U'' הוא [[גאומטריה היפרבולית|משולש היפרבולי]] עם קודקוד "אידיאלי" אחד (קודקוד אחד באינסוף), ושתי זוויות של

<math>\pi/3</math> כל אחת. הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:

:<math>U = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}.</math>

 

== קישורים חיצוניים ==