תחום יסודי – הבדלי גרסאות

הוסר בית אחד ,  לפני 8 חודשים
מ
החלפות ( ליניארי)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מ (החלפות ( ליניארי))
בהינתן [[מרחב טופולוגי]] ו[[פעולת חבורה|חבורה הפועלת]] עליו, אוסף ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונות]] של נקודה יחידה (תחת פעולת החבורה) מהווה [[פעולת חבורה#מסלולים ומייצבים|מסלול]] של הפעולה. '''תחום יסודי''' (ב[[אנגלית]]: '''Fundamental domain''') של המרחב ביחס לפעולת החבורה הנתונה הוא תת-קבוצה של המרחב המכילה בדיוק נקודה אחת מכל אחד מהמסלולים הללו. התחום היסודי משמש כמימוש גאומטרי של קבוצת הנציגים של המסלולים.
 
ישנן דרכים רבות לבחור תחום יסודי. באופן טיפוסי, נדרש מהתחום היסודי לקיים מספר תכונות נאות המקלות על הטיפול בו, כגון שיהיה תת-קבוצה [[מרחב קשיר|קשירה]] של המרחב יחד עם הגבלות מסוימות על השפה שלו, כגון שתהיה חלקה או לינאריתליניארית למקוטעין. תחת פעולת החבורה, התמונות של התחום היסודי שנבחר [[ריצוף של המישור|מרצפות]] את המרחב כולו.
 
== הגדרה פורמלית ==
* בעבור פעולת [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] ביחס למישור: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות משני צידי המישור, או נקודה יחידה על המישור; התחום היסודי יכול להיבחר להיות כל אחד מחצאי-המרחב ביניהם חוצץ המישור.
* בעבור שיקוף ביחס לנקודה: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות או נקודה יחידה (במידה ונבחרה הנקודה ביחס אליה מתבצע השיקוף); התחום היסודי יכול להיבחר להיות אחד מחצאי המרחב שיוצר כל מישור העובר דרך הנקודה.
* בעבור סימטריית הזזה דיסקרטית בכיוון אחד: המסלולים הם הזזות של סריג חד-ממדי בכיוון וקטור ההזזה; התחום היסודי יהיה פרוסה מישורית אינסופית עבה.
* בעבור סימטריית הזזה דיסקרטית בשני כיוונים: המסלולים הם הזזות של סריג דו-ממדי המונח במישור המוגדר על ידי וקטורי ההזזה; התחום היסודי יהיה מוט אינסופי בעל חתך רוחב של [[מקבילית]].
 
== תחום יסודי עבור החבורה המודולרית ==
התרשים משמאל מציג (באפור) את התחום היסודי תחת פעולת [[חבורה מודולרית|החבורה המודולרית]] Γ על חצי המישור העליון ''H''.
 
תרשים מפורסם זה מופיע בכל הספרים הקלאסיים על [[תבנית מודולרית|פונקציות מודולריות]]. הוא היה ידוע ל[[קרל פרידריך גאוס]], אשר עסק בתחומים יסודיים במסגרת מחקריו על תורת הרדוקציה של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]]. כאן, התחום היסודי ''U'' הוא [[גאומטריה היפרבולית|משולש היפרבולי]] עם קודקוד "אידיאלי" אחד (קודקוד אחד באינסוף), ושתי זוויות של
<math>\pi/3</math> כל אחת. הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:
:<math>U = \left\{ z \in H: \left| z \right| > 1,\, \left| \,\mbox{Re}(z) \,\right| < \frac{1}{2} \right\}.</math>