קרל פרידריך גאוס – הבדלי גרסאות

הוסרו 214 בתים ,  לפני 4 חודשים
←‏אנליזה מתמטית: הוספת קישור ל"תחום יסודי" והסרת הערת שוליים מיותרת.
(←‏אנליזה מתמטית: הוספת קישור ל"תחום יסודי" והסרת הערת שוליים מיותרת.)
=== אנליזה מתמטית ===
==== פונקציות אליפטיות, טורים היפרגאומטריים, תבניות מודולריות ====
[[קובץ:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|ממוזער|340px|שמאל|כשחקר את [[פעולת חבורה|פעולת]] [[חבורה מודולרית|החבורה המודולרית]] על חצי המישור העליון, גאוס זיהה במפורש את המושג החשוב של [[תחום יסודי (Fundamental domain)]] של חבורה זו, אשר ניתן לרצף בעזרת עותקיו את כל המישור ההיפרבולי{{הערה|אם כי גאוס כנראה לא היה מודע לקשר זה שבין הגאומטריה ההיפרבולית לתבניות מודולריות.}}. כתביו מכילים אף איור שמציג ריצוף של דיסק היחידה על ידי רשת של משולשים "עקומים" (האיור כאן מתייחס למודל שונה, זה של חצי המישור העליון).]]
אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן". הוא גילה את הקשר שלו ל[[אינטגרל אליפטי|אינטגרלים אליפטיים]] בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת [[טרנספורמציית לנדן]] (Landen transformation). אחד החיבורים המרכזיים שלו בקשר לזה הוא לקט של כתבים תחת הכותרת "Arithmetisch Geometrisches mittel". לקט זה ביחד עם מאמרים רבים נוספים, מכיל עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה רבה על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים. כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום [[העשור הראשון של המאה ה-19]], גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של [[קרל גוסטב יעקב יעקובי]] מ-1829 "''Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum''": בין היתר גילה גאוס את התכונה היסודית של פונקציות אליפטיות – שהן מהוות באופן טבעי פונקציות בעלות שני [[פונקציה מחזורית|מחזור]]ים בלתי תלויים <math>\omega_1,\omega_2</math>, מעל ''R'' - וחישב את שני המחזורים הבלתי תלויים שלהן במקרים רבים, הוכיח תוצאות חשובות על הקשר בין אינטגרלים אליפטיים והממוצע האריתמטי גאומטרי, חקר לעומק את הפונקציות ה[[למניסקטה|למניסקטיות]] (שניתן לחשוב עליהן כעל הכללה של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות), גילה והוכיח את [[זהות המכפלה המשולשת של יעקובי]]{{הערה|זהות זו מכלילה את [[משפט המספרים המחומשים]] של אוילר.}} - שממנה נובעות תוצאות רבות על [[פונקציית תטא|פונקציות תטא]], הגדיר את [[מקדם בינומי גאוסי|המקדמים הבינומים הגאוסיים]], ועוד.
 
כמה קטעים מתמטיים{{הערה| בין היתר בכתב היד שכותרתו "Drei Fragmente über elliptische Modulfunctionen" [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN236010751/PPN236010751___LOG_0025.pdf]}} בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של [[פליקס קליין]] ו-Fricke על [[תבנית מודולרית|תבניות מודולריות]]. אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב. למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים ([[הקבוע האבסולוטי של קליין]]; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function"{{הערה|Continuation of investigations on the arithmetic-geometric mean, p.386[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN235999628/PPN235999628___LOG_0046.pdf]|כיוון=שמאל}}. גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו{{הערה| AGM of Gauss, David Cox[https://www.researchgate.net/publication/248675540_The_Arithmetic-Geometric_Mean_of_Gauss]|כיוון=שמאל}}. בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות ל[[טור אייזנשטיין|טורי אייזנשטיין]], וגילה את ההצגה המפורסמת של [[ויירשטראס]] של משתנה האינטגרציה ''x'' שבאינטגרלים אליפטיים מ[[גנוס (טופולוגיה)|גנוס]] 1 כמנה של שתי [[פונקציה שלמה|הפונקציות השלמות]] שכונו על ידי ויירשטראס <math>Al_1(u),Al_0(u)</math> (כאשר ''u'' הוא ערך האינטגרל האליפטי){{הערה|הסימון "Al" לפונקציות הללו הוא קיצור של אותיות שמו של אבל (Abel), והוא נבחר על ידי ויירשטראס כהוקרה לתוצאה חשובה של אבל אשר היוותה מקור השראה עבורו לגילוי ההצגה <math> x = \frac{ Al_1(u)}{Al_0(u)}</math>; הצגה זאת היא בעלת חשיבות רבה בבעיית ה[[פונקציה הופכית|היפוך]] של אינטגרלים אליפטיים. ראו: {{צ-מאמר|שם=Gauss's Collected Works|שנת הוצאה=1903-04|כתב עת=Bulletin of the American Mathematical Society|כרך=9|עמ=357–369|קישור=https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183417390|מחבר=James Pierpont}}}}. כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי{{הערה|A New Approach to Differential Geometry using Clifford's Geometric Algebra p.330 {{צ-ספר|מו"ל=Springer Science & Business Media|שם=A New Approach to Differential Geometry using Clifford's Geometric Algebra|שפה=en|שנת הוצאה=2011-12-09|קישור=https://books.google.co.il/books?id=s2DUp99h_X8C&pg=PA330&lpg=PA330&dq=gauss+tessellation++of+riemann%2527s+disk&source=bl&ots=lnnKeigvUI&sig=mEGAzAqgcgJHm2EpMuU7guOUBZQ&hl=iw&sa=X&ved=0ahUKEwiIzouF467VAhVoLcAKHfWDBp4Q6AEILDAB#v=onepage&q=gauss%2520tessellation%2520%2520of%2520riemann's%2520disk&f=false|מחבר=John Snygg}}|כיוון=שמאל}} של [[ריצוף של המישור|ריצוף]] של מודל הדיסק של פואנקרה על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות <math>\pi/4</math>.
 
גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע ל[[עצם מתמטי]] קשור – [[פונקציה היפרגאומטרית|הפונקציה ההיפרגאומטרית]]. במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית <math>F(\alpha,\beta,\gamma,x)</math> הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת ה[[פונקציה אלמנטרית|פונקציות האלמנטריות]] ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית. בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ו[[יוהאן פרידריך פף]], שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי. המאמר קושר גם בין [[שבר משולב|שברים משולבים]] עם ערכים מרוכבים ל[[חילוק|מנות]] של פונקציות היפרגאומטריות, ומכיל תוצאות רבות על פונקציות טרנסצנדנטיות כמו [[פונקציית גמא]] ו[[פונקציית פוליגמא|פונקציית הדיגמא]]; אחת התוצאות העמוקות ביותר בו, שלה גם הקשרים אריתמטיים מעניינים{{הערה|[https://www.researchgate.net/publication/258234276_On_Gauss'_formula_for_ps_and_finite_expressions_for_the_L-series_at_1],On Gauss’ formula for ψ and finite expressions for the L-series at 1|כיוון=שמאל}}, היא "משפט הדיגמא של גאוס", המאפשר לבטא את פונקציית הדיגמא עבור כל הארגומנטים הרציונליים <math>\psi(p/q)</math> באמצעות [[קבוע אוילר-מסקרוני]] ופונקציות אלמנטריות בלבד. מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה ה[[ריגורוזיות|ריגורוזית]], שכן תואר בו מעיין מודל לחקר [[סדרה מתכנסת|התכנסות]] של טורים. בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "'''קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני'''", גאוס הרחיב את [[תחום הגדרה|תחום ההגדרה]] של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב. כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות: