|
ב[[מתמטיקה]], '''שדה מקומי''' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נקרא '''שדה מקומי''' אם הוא [[קומפקטיות מקומית|קומפקטי באופן מקומי]] ביחס ל[[ערך מוחלט (אלגברה)|ערך מוחלט]] לא [[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]]. לשדות מקומיים יש [[אריתמטיקה]] פשוטה במיוחד, ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם ב[[תורת המספרים]], ובפרט באריתמטיקה של [[שדה גלובלי|שדות גלובליים]].
כלאת משפחת השדות המקומיים אפשר למיין באופן מלא. ישנם בדיוק שני שדות מקומיים [[שדה מקומיארכימדי|ארכימדיים]] - [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\,\mathbb{R}</math> ו[[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\,\mathbb{C}</math>. השדות המקומיים שאינם ארכימדיים שייךשייכים ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]]) לאחת הקבוצותלשתי הבאותקבוצות:
* שדות מקומיים לא ארכימדיים בעלי [[מאפיין של שדה ארכימדי|ארכימדייםמאפיין]] 0: [[שדההרחבת המספריםשדות|הרחבות הממשייםסופיות]] <math>\,\mathbb{R}</math>של ו[[שדה המספרים המרוכביםה-p אדיים]] <math>\,\mathbb{CQ}_p</math>.
* שדות מקומיים לא ארכימדיים עםבעלי [[מאפיין של שדה|מאפיין]]<math>\ p>0</math>: [[הרחבתטור שדותלורן|הרחבותטורי סופיותלורן]] שלפורמליים <math>\,F_q((T))</math> מעל [[שדה המספרים ה-p אדייםסופי]] <math>\,\mathbb{Q}_pF_q</math> ממאפיין p.
* שדות מקומיים לא ארכימדיים עם מאפיין <math>\ p>0</math>: [[טור לורן|טורי לורן]] פורמליים <math>\,F_q((T))</math> מעל [[שדה סופי]] <math>\,F_q</math> ממאפיין p.
פעמים רבות מתייחס המונח "שדה מקומי" לשדות הלא-ארכימדיים.
==שדות מקומיים לא ארכימדים==
את הערך המוחלט של שדה מקומי לא ארכימדי אפשר להגדיר על-ידי [[הערכה של שדה|הערכה]] דיסקרטית, שהיא פונקציה <math>\ \nu : F^{\times} \rightarrow \mathbb{Z}</math>, המקיימת את האקסיומות
שהיא פונקציה <math>\ \nu : F^{\times} \rightarrow \mathbb{Z}</math>, המקיימת את האקסיומות
<math>\ \nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)</math> ו-
<math>\ \nu(a+b)\geq \min\{\nu(a),\nu(b)\}</math>.
ההערכההערך מוגדרתהמוחלט מוגדר במקרה כזה לפי הנוסחה <math>\ |a|=\gamma^{\nu(a)}</math>, כאשר <math>\ 0 <\gamma <1</math> הוא קבוע.
בשדה מקומי לא ארכימדי ''F'' משתלבים כמה מושגים בסיסיים ב[[טופולוגיה]] וב[[אלגברה]]:
| 