ויקיפדיה

משפט דיריכלה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
שורה 419:
כדי להשלים את הוכחה בגישה זאת, נותר להראות שפונקצית זטה של דדקינד של הרחבה ציקלוטומית מתבדרת ב <math>s=1</math>. למעשה פונקציית זטה של דדקינד של כל [[שדה מספרים]] מתבדרת ב <math>s=1</math>. ההוכחה של טענה זאת דומה להוכחה למקרה של הרחבה ריבועית, אך מסובכת יותר, מכיוון שבמקום ניתוח [[משוואת פל]] יש לנתח את חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים בשדה מספרים כללי. ניתוח זה מהווה את [[משפט היחידות של דיריכלה]].
 
גם כאן ניתן לקבל מידע מדויק יותר לגבי האסימפטוטיקה של פונקציית זטה של דדקינד ב <math>s=1</math>. ספציפית עבור כל שדה מספרים <math>k</math> אפשר להביעהלהביע את הגבול <math>\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_k(s)</math> באמצעות מספר המחלקה של <math>k</math> ואינווריאנטים נומריים נוספים של <math>k</math>. קשר זה נרקא נוסחת המחלקה של דדקינד. בשונה מהמקרה הריבועי, הגבול <math>\lim_{s\to 1}(s-1)\zeta_k(s)</math> איננו ערך של פונקצית <math>L</math> מסוימת. אולם עםאם <math>k</math> הרחבה ציקלוטומית אז גבול זה שווה (עד כדי מודיפיקציה קלה) למכפלה
<math display="block">\prod_{\chi\in \widehat{\Z|_m^\times}\smallsetminus 1} L(1,\chi). </math>
 
שורה 432:
* מספר הערכים של <math>p</math> בטווח <math>0\dots x</math> הוא ([[סימון אסימפטוטי|אסימפטוטית]]) <math>\Theta(x)</math>.
|}
הפולינום <math>f</math> הוא למעשה [[נורמת גלואה]] בחוג השלמים של הרחבה ציקלוטומית. זה פולינום מסובך למדנילמדי אך מפורש לחלוטין.
 
מלמה זאת כלקל להסיק את הגירסההגרסה הכמותית של משפט דיריכלה עבור הסידרה החשבונית <math>1+m\N</math>. כאמור גרסה זאת גוררת את משפט דיריכלה באופן כללי.
 
נשים לב כי הפולינום <math>f</math> [[#1modn|מההוכחה האלגברית האלמנטרית למעלה]] הוא צימצום של הפולימום <math>f</math> כאן, לישר. כך שההוכחה כאן היא למעשה הרחבה של הארגומנט האלמנטרי אבורעבור משפט דיריכלה לסידרה החשבונית <math>1+m\N</math> כך שיתן גם חסם כמותי יעיל על צפיפות דיריכלה של הראשוניים על סידרה זאת.
 
==הכללות והשפעה==
שורה 449:
* [https://terrytao.wordpress.com/2014/11/23/254a-notes-1-elementary-multiplicative-number-theory/#more-7855 254A, Notes 1: Elementary multiplicative number theory] פוסט של [[טרי טאו]] על הבעיה.
===ספרים===
* [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-13157-2 The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood] מעט Władysław Narkiewicz. ספר המכיל סקירה הסטורתהיסטורת של הבעיה ואת הפתרון המקורי של דיריכלה.
===וידיאו===
*[https://www.youtube.com/watch?v=EK32jo7i5LQ סרטון] של [[3Blue1Brown]] המזכיר את המשפט.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/משפט_דיריכלה"