תורת הקבוצות האקסיומטית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות)
מ בוט החלפות: גרסה
מ ←‏האקסיומות של תורת הקבוצות: אקסיומת הקבוצה הריקה נובעת מצירוף אקסיומת האינסוף עם אקסיומת ההפרדה, ולכן אין טעם להוסיפה למערכת של שבע האקסיומות של צרמלו פרנקל. כל זה מצויין בסיפרו של פרנקל Fundamentals of Set theory
שורה 14:
להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.
 
שמונהשבע האקסיומות של ZFC רשומות להלן. במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית. אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: [[אקסיומת ההפרדה]]) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.
 
# [[אקסיומת ההיקפיות]]: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
שורה 23:
# [[אקסיומת היסוד]]: כל קבוצה <math>x</math> שאינה ריקה מכילה איבר <math>y</math> כך ש-<math>y</math> ו-<math>x</math> הן [[קבוצות זרות]].
# [[אקסיומת הבחירה]]: בהינתן קבוצה <math>x</math> של קבוצות זרות הדדית שאינן ריקות, קיימת קבוצה <math>y</math> אשר מכילה בדיוק איבר אחד מתוך כל אחד מאיברי <math>x</math>.
# [[אקסיומת הקבוצה הריקה]]: קיימת [[הקבוצה הריקה|קבוצה ללא איברים]]. קבוצה זו מסומנת <math>\left\{\right\}</math> או <math>\emptyset</math>.
 
במקור, צרמלו הוסיף שתישלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:
* [[אקסיומת ההפרדה]]: לכל קבוצה והצהרה <math>P\left(x\right)</math>&lrm; קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האיברים <math>x</math> בקבוצה המקורית המקיימים <math>P\left(x\right)</math>&lrm;.
* [[אקסיומת הזוג הלא סדור]]: אם <math>x</math> ו-<math>y</math> הן קבוצות, אז גם <math>\left\{x,y\right\}</math>, היא קבוצה, אשר המכילה את <math>x</math> ואת <math>y</math> בלבד.
#* [[אקסיומת הקבוצה הריקה]]: קיימת [[הקבוצה הריקה|קבוצה ללא איברים]]. קבוצה זו מסומנת <math>\left\{\right\}</math> או <math>\emptyset</math>.
 
אם מוסיפים למערכת ZFC את שלוש האקסיומות האחרונות הנ"ל של צרמלו, וממה שמתקבל מסירים את אקסיומת היסוד ואת אקסיומת ההחלפה (וכן מרשים שלא כל איבר שבקבוצה יהיה בעצמו קבוצה), אז מתקבלת המערכת המקורית ההיסטורית (Z) של צרמלו.
שורה 34:
* הניסוח מעלה הוא אחד מבין מספר ניסוחים שקולים למערכת ZFC.
* לעיתים משתמשים בגרסה חזקה יותר של אקסיומת ההחלפה, ולא דורשים שההצהרה <math>P</math> תגדיר פונקציה על כל <math>z</math> אלה רק על חלק מהאיברים שלה (עבור היתר לא תהיה קבוצה <math>y</math> שתקיים את ההצהרה). מערכת האקסיומות בה אקסיומת ההחלפה מנוסחת בגרסה חזקה זו שקולה ל ZFC אך בגרסה זאת אין צורך באקסיומת הקבוצה הריקה (נתן לוותר עליה ולקבל מערכת אקסיומת שקולה).
* אקסיומת הקבוצה הריקה נובעת גםמהצירוף מאקסיומתשל אקסיומת האינסוף עם אקסיומת ההפרדה (למשל ע"י הפרדת כל איברי הקבוצה האינסופית ששונים מעצמם).
* לעיתים משתמשים בגרסה חלשה יותר של אקסיומת ההחלפה, הדורשת רק שתהיה קבוצה שמכילה את התמונה של <math>f</math>. במקרה זה יש צורך להוסיף את אקסיומת ההפרדה כדי לקבל מערכת שקולה ל-ZFC.