יריעת גרסמן – הבדלי גרסאות

ב[[גאומטריה אלגברית]], '''יריעת גרסמן''' (או '''גרסמניאן''') היא [[יריעה אלגברית פרויקטיבית]] [[יריעה חלקה|חלקה]] <math>\operatorname{Gr}(k,V)</math>, שהנקודות שלה נמצאות בהתאמה למרחבים מממד (אפיני) קבוע <math>k</math> ב[[מרחב וקטורי]] <math>V</math>. לדוגמה, <math>\operatorname{Gr}(1,V)</math> אינו אלא המרחב הפרויקטיבי <math>{\mathbb P}V</math>. אם <math>V</math> מרחב מממד <math>n</math>, יריעת גרסמן, שמקובל לסמן אותה גם ב-<math>{\mathbb G}^{n,k}</math>, משוכנת (על ידי [[שיכון פלוקר]]) במרחב הפרויקטיבי <math>{\mathbb P}^{\binom{n}{k}-1}</math>. יריעת גרסמן קרויה על-שם [[הרמן גרסמן]].

יריעות גרסמן מופיעות באופן טבעי במחקר של יריעות חלקות, משום שאם <math>M</math> היא היריעה מממד <math>k</math> ומשוכנת במרחב האפיני ה-<math>n</math> ממדי, אז [[המרחב המשיק]] בכל נקודה הוא תת-מרחב <math>k</math> ממדי של <math>{\mathbb R}^n</math>, כך שהמרחב המשיק מגדיר העתקה רציפה מ-<math>M</math> אל יריעת גרסמן <math>\operatorname{Gr}(k,n)</math>. את הרעיון הזה אפשר להכליל ל[[אגד משיק]] כללי.

הדואליות בין מרחבים מממד <math>k</math> למרחבים מממד <math>n-k</math> (שהיא הדואליות בין קבוצות משוואות למרחבי פתרונות), מראה ש-<math>\operatorname{Gr}(n-k,n) \cong \operatorname{Gr}(k,n)</math>.

כאמור, אם <math>k=1</math>, אז <math>\operatorname{Gr}(1,n) \cong {\mathbb P}^{n-1}</math>. בפרט, אם <math>k=1</math> ו-<math>n=3</math>, היריעה מקודדת את הישרים דרך הראשית במרחב התלת ממדי, ואינה אלא ה[[מישור פרויקטיבי|מישור הפרויקטיבי]]. הדוגמה הפשוטה ביותר שאינה מרחב פרויקטיבי, היא היריעה <math>\operatorname{Gr}(2,4)</math> של המישורים דרך הראשית במרחב הארבעה ממדי.

החבורה הליניארית הכללית <math>\operatorname{GL}_n(F)</math> [[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת]] [[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבית]] על אוסף תת-המרחבים מממד <math>k</math>. ה[[מייצב (מתמטיקה)|מייצב]] של תת-מרחב הוא תת-החבורה הפרבולית של מטריצות הבלוקים <math>H_k = \left(\begin{array}{cc}* & * \\ 0 & *\end{array}\right)</math> (עם בלוקים אלכסוניים בגודל <math>k \times k</math> ו-<math>(n-k) \times (n-k)</math>), וכך מתקבלת הזהות <math>\operatorname{Gr}(k,F^n) = \operatorname{GL}_n(F)/H_k</math>. בפרט, הממד של יריעת גרסמן הוא <math>k(n-k)</math>.

נוכחות המכפלה הפנימית הופכת את יריעת גרסמן ל[[מרחב מטרי]], אם מגדירים <math>d(W, U) = \lVert P_W - P_{U} \rVert,</math>, המרחק בין ההטלות של <math>W</math> על <math>U</math> ושל <math>U</math> על <math>W</math>, לפי ה[[נורמה של אופרטור|נורמה האופרטורית]].

'''קואורדינטות פלוקר''' של יריעת גרסמן מתקבלות מבחירת בסיס למרחב ה-<math>n</math> ממדי, על ידי מעבר על כל תת-הקבוצות בגודל <math>k</math>. הצגה בקואורדינטות אלה מספקת את השיכון <math>\operatorname{Gr}(k,F^n) \sub {\mathbb P}^{\binom{n}{k}-1}F</math>, המוגדר על ידי משוואות ריבועיות. כך למשל, <math>\operatorname{Gr}(2,F^4) \,\cong\, \{(y_{01}:y_{02}:y_{03}:y_{12}:y_{13}:y_{23}) \in \operatorname{P}^5F \,|\, y_{01}y_{23}-y_{02}y_{13}+y_{03}y_{12}=0\}</math>.