עצמאות (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
אין תקציר עריכה תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
||
שורה 6:
* [[השערת הרצף]] עצמאית מ[[אקסיומות צרמלו פרנקל]] יחד עם [[אקסיומת הבחירה]].
המתמטיקאי ה[[אוסטריה|אוסטרי]]-[[ארצות הברית|אמריקאי]] [[קורט גדל]] הוכיח ב-[[1931]] שבכל [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]] המבוססת על [[שפה מסדר ראשון]] שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים, יש נוסחאות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית ו[[שלמות (לוגיקה מתמטית)|שלמה]], וחייבות להיות בה טענות עצמאיות. חוק זה נקרא [[משפט
[[משפט האי שלמות השני]] של גדל טוען שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה (אפקטיבית וחזקה מספיק) במסגרת האקסיומות של התורה עצמה. לפעמים אפשר להוכיח את העקביות של מערכת על ידי בניית [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שלה במסגרת מערכת אחרת. למשל, [[אקסיומות פאנו]] מתארות את המספרים השלמים, וניתן לבנות מודל שלהן במסגרת [[תורת הקבוצות]]. לכן, אם תורת הקבוצות חסרת סתירות, אז כך גם מערכת פאנו.
|