עקמומיות גאוס – הבדלי גרסאות

ב[[גאומטריה דיפרנציאלית]], '''עקמומיות גאוס''' ''Κ''<math>\Kappa</math> (ב[[אנגלית]]: Gaussian curvature) של [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] בנקודה היא מכפלת ערכי ה[[עקמומיות]] הראשיים שלו, ''κ''<submath>1\kappa_1</submath> ו- ''κ''<submath>2\kappa_2</submath>, בנקודה הנתונה:

לדוגמה, לספירה בעלת רדיוס ''<math>r</math>'' יש עקמומיות גאוס <math>1/r^2</math> בכל מקום, בעוד שלמישור שטוח ולגליל יש עקמומיות גאוס 0 בכל מקום. עקמומיות גאוס יכולה גם להיות שלילית, כמו במקרה של [[היפרבולואיד]] או בחלקו הפנימי של [[טורוס]].

בכל נקודה על פני משטח, ניתן לשרטט [[וקטור נורמל]] הניצב לכל הישרים שעוברים דרך הנקודה ונמצאים על המשטח (אנך ל[[מרחב משיק|מישור המשיק]]); מישורים שמכילים את וקטור הנורמל מכונים '''מישורים נורמליים'''. החיתוך של מישור נורמלי עם המשטח יוצר עקומה שנקראת חתך נורמלי, והעקמומיות של העקומה הזאת בנקודה הנתונה מכונה עקמומיות נורמלית. בעבור רוב הנקודות על רוב המשטחים, לחתכים נורמליים שונים יהיו ערכי עקמומיות שונים; הערך המרבי והערך המינימלי של העקמומיות מכונים ערכי עקמומיות ראשיים, והם מסומנים ''κ''<submath>1\kappa_1</submath>, ''κ''<submath>2\kappa_2</submath>. '''עקמומיות גאוס''' היא המכפלה של ערכי העקמומיות הראשיים האלו: Κ<math> \Kappa = ''κ''₁''κ''<sub>2\kappa_1 \kappa_2</submath>.

* אם שני ערכי העקמומיות הראשיים הם בעלי אותו הסימן, אז ''κ''<submath>1</sub \kappa_1 \kappa_2 >''κ''<sub>2 0</submath> > 0, כלומר עקמומיות גאוס חיובית והנקודה נקראת '''נקודה אליפטית''' של המשטח. בנקודות כאלו, המשטח יהיה דמוי כיפה, ויימצא באופן מקומי בצד אחד של המישור המשיק. לכל החתכים הנורמליים תהיה עקמומיות חיובית. מבחינה גאומטרית, באזורים במשטח בעלי עקמומיות חיובית, ישרים שמשורטטים כ[[ישרים מקבילים|מקבילים]] ייטו להתקרב ולהתכנס זה לזה.

* אם לערכי העקמומיות הראשיים יש סימן שונה, אז ''κ''<submath>1 \kappa_1 \kappa_2 </sub>''κ''<sub>2 0</submath> < 0, עקמומיות גאוס שלילית וניתן לומר שמשטח יש '''נקודה היפרבולית''' או [[נקודת אוכף]]. בנקודת אוכף המשטח לא יימצא כולו בצד אחד של המישור המשיק. בנוסף, כיוון שערך עקמומיות ראשי אחד הוא שלילי, בעוד האחר חיובי, וכן העקמומיות הנורמלית משתנה ברציפות אם מסובבים את המישור הניצב למשטח מסביב לוקטור הניצב למשטח, ניתן תמיד למצוא כיוונים שבהם העקמומיות הנורמלית היא אפס. עקומות כאלו מכונות עקומות אסימפטוטיות. באזורים במשטח בעלי עקמומיות גאוס שלילית, ישרים שמשורטטים כמקבילים ייטו להתרחק ולהתבדר זה מזה.

* אם אחד מערכי העקמומיות הראשיים הוא אפס אז ''κ''₁''κ''<sub>2</submath> \kappa_1 \kappa_2 = 0</math>, עקמומיות גאוס היא אפס וניתן לומר שלמשטח יש '''נקודה פרבולית'''.

[[אינטגרל משטחי|האינטגרל המשטחי]] של עקמומיות גאוס על פני אזור מסוים של המשטח מכונה '''עקמומיות כוללת'''. לפי [[Theorema Elegantissimum|המשפט האלגנטי]] של גאוס, העקמומיות הכוללת של [[משולש]] [[מסילה גאודזית|גיאודזי]] שווה לסטייה של סכום זוויותיו מ-π<math> \pi</math>. לפיכך, [[סכום הזוויות במשולש|סכום הזוויות של המשולש]] על משטח בעל עקמומיות חיובית יעלה על π<math> \pi</math>, בעוד שסכום הזוויות של משולש על משטח בעל עקמומיות שלילית יהיה קטן מ-π<math> \pi</math>. על משטח בעל עקמומיות אפס, כמו ה[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]], הזוויות יסתכמו במדויק ל-π<math> \pi</math>. בניסוח מתמטי:

:<math>\sum_{i=1}^3 \theta_i = \pi + \iint_T K \,dA.</math>.

התיאורמה אגרגיום (מלטינית:"המשפט הנהדר") של גאוס קובע שעקמומיות גאוס של המשטח ניתנת לחישוב ממדידות של אורך על גבי המשטח עצמו. למעשה, היא ניתנת לחישוב בהינתן ידיעה מלאה של [[התבנית היסודית הראשונה]], וניתן לבטא אותה באופן כללי דרך התבנית היסודית הראשונה ו[[נגזרת חלקית|הנגזרות החלקיות]] מסדר ראשון ושני שלה. ההיבט הנהדר, והמפתיע, של המשפט הזה, הוא שעל אף ש''ההגדרה'' של עקמומיות גאוס של משטח ''<math> S</math>'' ב-'''R'''<supmath> \R^3</supmath> תלויה באופן המדויק שבו המשטח משוכן במרחב, התוצאה הסופית, עקמומיות גאוס עצמה, נקבעת על ידי ה[[מטריקה]] הפנימית של המשטח ללא כל התייחסות למרחב המשכן: זוהי '''[[שמורה (מתמטיקה)|שמורה פנימית]]'''. כיוון שכך, עקמומיות גאוס נשמרת תחת עיוותים [[איזומטריה|איזומטריים]] של המשטח.

בגאומטריה דיפרנציאלית עכשווית, "משטח", כישות אבסטרקטית, הוא [[יריעה]] גזירה דו-ממדית. כדי לקשר את נקודת המבט הזאת עם התורה הגאומטרית הקלאסית של משטחים, משטח אבסטרקטי זה משוכן ב-'''R'''<supmath> \R^3</supmath> ומצויד ב[[מטריקה רימנית|מטריקה הרימנית]] שהמידע עליה מקודד בתבנית היסודית הראשונה. המשטח ''<math> S''</math> הוא למעשה [[תמונה (מתמטיקה)|התמונה]] של השיכון הזה ב-'''R'''<supmath> \R^3</supmath>. ''איזומטריה מקומית'' היא [[דיפאומורפיזם]] ''<math> f'' : ''U'' &rarr;\rightarrow ''V''</math> בין תחומים פתוחים של '''R'''<supmath> \R^3</supmath> שהמגבלה שלהם היא ש-''<math> S'' &\cap; ''U''</math> היא איזומטריה אל התמונה. במינוח הזה, התיאורמה אגרגיום מנוסח כך:

: עקמומיות גאוס של משטח חלק משוכן ב-'''R'''<supmath> \R^3</supmath> נשמרת תחת איזומטריות מקומיות.

למשל, עקמומיות גאוס של צינור גלילי היא אפס, בדיוק כמו הצינור הבלתי מגולל (שהוא שטוח). לספירה בעלת רדיוס ''<math> R</math>'' יש עקמומיות חיובית קבועה, בעוד למישור השטוח יש עקמומיות קבועה 0, ועל כן שני המשטחים הללו אינם איזומטריים, אפילו לא מקומית. לכן כל הצגה מישורית של חלק כלשהו של הספירה חייבת לעוות את המרחקים. לפיכך, אין [[הטלה קרטוגרפית]] מושלמת.

* משפט [[פרדיננד מיינדינג|מיינדינג]] (1839) קובע שכל המשטחים עם אותה עקמומיות קבועה ''K''<math> \Kappa</math> הם איזומטריים מקומית. משפט זה הוא במובן מסוים הכיוון ההפוך של התיאורמה אגרגיום. מסקנה שנובעת ממשפט מיינדינג היא שכל משטח שהעקמומיות שלו היא זהותית אפס ניתן לבנייה על ידי כיפוף של תחום מישורי כלשהו. משטחים כאלו נקראים משטחים ברי-פיתוח (developable surfaces). מיינדינג העלה גם את השאלה האם משטח סגור עם עקמומיות חיובית קבועה הוא בהכרח קשיח.

* משפט Liebmann (משנת 1900) הראה שהתשובה לשאלה של מיינדינג חיובית. המשטחים הסגורים הרגולריים (ממחלקה ''C''<supmath> C^2</supmath>) היחידים ב-'''R'''<supmath> \R^3</supmath> עם עקמומיות גאוס חיובית קבועה הם [[ספירה (גאומטריה)|ספירות]]. כלומר אם הספירה מעוותת, עיוות זה בהכרח אינו איזומטרי, ולכן היא בהכרח לא נותרת ספירה, מה שמוכיח את קשיחות הספירה. על אף שהטענה נראית מובנת אינטואיטיבית, משפט Liebmann מדגים את נכונות הטענה באופן [[ריגורוזי]]. הוכחה סטנדרטית למשפט משתמשת בלמה של הילברט שמראה שנקודות לא [[נקודה אמבילית|אמביליות]] בעלות עקמומיות ראשית מרבית הן בעלות עקמומיות גאוס לא חיובית.

* [[משפט הילברט (גאומטריה דיפרנציאלית)|משפט הילברט]] (1901) קובע שלא קיים משטח אנליטי שלם (ממחלקה ''C''<supmath>''& C^\omega;''</supmath>) ורגולרי ב-'''R'''<supmath> \R^3</supmath> בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה. למשל, לפסאודוספירה יש עקמומיות גאוס שלילית קבועה בכל מקום פרט לדיסקה הסינגולרית שבמרכזה.

* עקמומיות גאוס של משטח ב- '''R'''<supmath> \R^3</supmath> ניתנת לביטוי כיחס בין ה[[דטרמיננטה|דטרמיננטות]] של התבנית היסודית השנייה והתבנית היסודית הראשונה:

::<math>K = \frac{\det(\mathrm{I\!I})}{\det(\mathrm I)} = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}.</math>.

* בעבור משטח שמתואר כגרף של פונקציה (''<math> z'' = ''F(x, y'')</math>, עקמומיות גאוס היא:

* בעבור משטח עם [[העתקה קונפורמית|מטריקה קונפורמית]] למטריקה האוקלידית, כלומר כאשר ''F''<math> F= 0</math>, עקמומיות גאוס ניתנת בנוסחה (Δ<math> \Delta</math> הוא [[אופרטור]] ה[[לפלסיאן]]):

::<math> K = -\frac{1}{2e^\sigma}\Delta \sigma,</math>

כאשר ''<math> E'' = ''G'' = e<sup>σ^\sigma</supmath>. נוסחה זו מכונה משוואת [[ז'וזף ליוביל|ליוביל]].