ויקיפדיה

הפרדוקס של בנך-טרסקי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Bustan1498 (שיחה | תרומות)
5,536 עריכות
מ ניסוח, עיצוב
שורה 6:
 
== הסבר פורמלי לתוכן המשפט ==
נגדיר [[יחס שקילות]] בין תת-קבוצות של [[מרחב אוקלידי]] [[ממד (אלגברה ליניארית)|(n-ממדי)]] כך: ''<math>A''</math> ו-''<math>B''</math> תקראנה '''חופפות-בחלקים''' אם ניתן להציג את ''<math>A''</math> ו-''<math>B''</math> כ[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] זר של [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]]: <math>A=\uplus_{i=1}^n A_i</math> ,<math>B=\uplus_{i=1}^n B_i</math> כך שלכל <math>1 \leq i \leq n </math> מתקיים ש-<math>A_i</math> ו-<math>\ B_i</math>חופפות, כלומר קיימת [[איזומטריה]] <math>\phi_i</math> עבורה <math>B_i = \phi_i(A_i)</math>.
<math>A=\uplus_{i=1}^n A_i</math> ,<math>B=\uplus_{i=1}^n B_i</math>
כך שלכל
<math>1 \leq i \leq n </math>
מתקיים ש
<math>\ A_i</math> ו-
<math>\ B_i</math>
חופפות, כלומר כך שקיימות [[העתקה צפידה|העתקות צפידות]] (שומרות מרחק) <math>\ \phi_i</math> כך ש- <math>\ B_i = \phi_i(A_i)</math>.
 
דומה, שאם שתי צורות הן חופפות-בחלקים, נכון לומר שיש להן אותו "שטח" או "נפח". ואומנם כבר [[אוקלידס]] השתמש ברעיון זה ב[[יסודות (ספר)|"יסודות"]] כדי [[הגדרה|להגדיר]] מתי לשתי צורות '''ב[[מישור (גאומטריה)|מישור]] הדו-ממדי''' יש אותו שטח; ניתן להראות שהגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה המודרנית של שטח.
 
אולם כאשר מנסים להחיל הגדרה זו על קבוצות מממדים גבוהים יותר, מתברר שעבור <math>n \geq 3 </math> '''כל שתי קבוצות [[קבוצה חסומה|חסומות]] בעלות [[פנים (טופולוגיה)|פנים]] לא ריק הן חופפות בחלקים'''. זהו תוכנו של המשפט שהוכח על ידי [[סטפן בנך]] ו[[אלפרד טרסקי]] ב-[[1924]]. חשוב להעיר שחלק הארי של ההוכחה פורסם כבר בשנת [[1914]] על ידי פליקס האוסדורף, שבנה "פרדוקס" דומה עבור מעטפת כדורית דו-ממדית.
<math>3 \leq n </math>
'''כל שתי קבוצות [[קבוצה חסומה|חסומות]] בעלות [[פנים (טופולוגיה)|פנים]] לא ריק הן חופפות בחלקים'''. זהו תוכנו של המשפט שהוכח על ידי [[סטפן בנך]] ו[[אלפרד טרסקי]] ב-[[1924]]. חשוב להעיר שחלק הארי של ההוכחה פורסם כבר בשנת [[1914]] על ידי פליקס האוסדורף, שבנה "פרדוקס" דומה עבור מעטפת כדורית דו-ממדית.
 
== המשמעות המיוחסת לפרדוקס ==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/הפרדוקס_של_בנך-טרסקי"